2) минимальной высотой побочных пиков ( остатков ) тела неопределенности в других частях области существования сигнала, что исключает неоднозначность измерений.

Из теоремы неопределенности следует, что принципиально возможны 3 пути сжатия пика тела неопределенности при соответствующем выборе формы сигнала.

1. Сжатие пика в направлении измеряемого параметра за счет расширения его в другом измерении. Этот путь эффективен только в случае, когда сигнал не используется для одновременного измерения координат и составляющих скорости. Примером может служить деформация пика тела неопределенности за счет изменения длительности импульсных посылок: при длительных посылках пик тела неопределенности сжат по координате &А и растянут по координате т, что благоприятно для измерения составляющих скорости; при очень коротких посылках пик, напротив, растянут по координате но сжат по координате т, что благоприятно для измерения координат объекта, например дальности (на рис. 4.6 это проиллюстрировано соответствующими изменениями диаграмм неопределенности):

Длинная посылка (измерение к)

Короткая посылка (измерение R)

Рис 4.6

2. Сжатие пиков за счет увеличения их числа в области существования сигнала (при периодическом сигнале), т.е. ценой ухудшения условий однозначности измерений. Примером может служить повышение точности измерения дальности фазовым методом с использованием гармонического модулирующего сигнала путем повышения частоты последнего. Повышение частоты модулирующего гармонического сигнала приводит к одновременному сжатию пиков тела неопределенности и уменьшению области однозначности измерения временной задержки, определяемой интервалом между пиками (рис. 4.7);

3. Сжатие пика за счет распределения остальной части тела неопределенности ( остатков ) в виде тонкого по возможности равномерного слоя по всей остальной области [т, ОД существования сигнала (рис. 4.8).

Рдев сэ-

Рис 4.7

Первый путь эффективен лишь для систем, предназначенных для измерения либо координат, либо составляющих скорости. Второй путь приемлем лишь в случае, когда область неопределенности измеряемого параметра по априорной информации достаточно мала. Третий является универсальным, поскольку обеспечивает возможность однозначного и точного измерения как координат, так и составляющих скорости. Поэтому для совмещенных систем, обеспечивающих одновременное измерение координат и составляющих скорости, оптимальным будет сигнал, обладающий телом неопределенности, изображенным на рис. 4.8. Такой сигнал должен прежде всего иметь возможно большую область существования [т, ОД, чтобы была возможность распределить основную часть объема тела неопределенности в виде достаточно

тонкого слоя вне основного пика*0. Поэтому оптимальные сигналы для совмещенных каналов измерения координат и составляющих скорости следует искать в классе так называемых широкополосных сигналов, для которых база сигнала что обеспечивается при соответствующей форме сигнала (внутриимпульсной модуляции). К этому же выводу мы пришли и в предыдущем параграфе, отдельно рассматривая требования к форме сигнала для повышения потенциальной точности измерения координат и составляющих скорости.

Рис 4.8

4.6. Широкополосные сигналы

Оптимальная обработка широкополосного сигнала должна сводиться к его сжатию по соответствующей координате в плоскости т, &й: по длительности сигнала - для измерения координат и по ширине спектра - для измерения скорости.

*> Сре;

Дний уровень остатков составит при этом примерно I/t.

Предельное сжатие широкополосного сигнала по длительности тсж, определяющее потенциальную точность измерения координаты, зависит от ширины спектра исходного сигнала &с:

Хсж- \№ = xjb4 (4.58)

где Б = 1с&с - база сигнала. Очевидно, что при ширине спектра импульс короче т не может быть сформирован. *

Предельное сжатие сигнала по спектру 5£ж, определяющее потенциальную точность измерения скорости, зависит от длительности исходного сигнала тс:

ж=1/Тс = /Б. (4.59)

При длительности исходного сигнала тс более узкий спектр невозможен даже при полном снятии внутриимпульсной модуляции.

Из формул (4.58) и (4.59) следует, что предельное сжатие широкополосного сигнала по любому измерению возможно в Б раз.

В качестве примера широкополосных сигналов рассмотрим сигналы, манипулировал -ные по фазе по закону бинарной псевдослучайной последовательности максимальной длительности, или сокращенно /-последовательностью. Эти сигналы называются фазоманипу-лированными псевдослучайными сигналами типа m-последовательности (сокращенно ФМПС). т-последовательность представляет собой набор N периодически повторяющихся символов diy каждый из которых может принимать одно из двух значений, например +1 и -1. Между символами и законом фазовой манипуляции несущей устанавливается простая связь: индекс * определяет дискретные моменты времени г,- = /То, в которые может осуществляться манипуляция фазы на л; dt = +1 отвечает соответствию фаз исходного и манипулированного сигналов на шаге, следующем за моментом Ц, a d( = -\ их противофазиости на этом шаге. Таким образом, при каждой смене вида символов d\ фаза сигнала меняется на л.

Если сигнал несущей имеет вид и = ио cos cor, то соответствующий ФМПС можно представить в виде:

Ипс(0 = uodi cos oat - uq cos [cor + (di - i)rc/2], (4.60)

где i = [t/To]in - целая часть отношения J/To, задающая индекс символа d{.

<4-l>i={°

при di = 1, к при = -1.

Для получения символов m-последовательности можно использовать закон формирования в виде произведения некоторого четного числа предшествующих символов [10]:

di = -dd...dt (4.61)

где *, л, е,...Д - целые числа, причем i>n>e> ...>1; среди символов di-i ... хотя бы один равен +1 (в противном случае все символы, формируемые по закону (4.61), равнялись бы -1 и манипуляции фазы не было бы).

Нетрудно видеть, что предельная длительность периода повторения последовательности, формируемой по закону (4.61), равна N = Т-1 символов. Действительно, как следует из (4.61), в формировании /-го символа участвуют только символы из числа п ему предшест-

(4.62)

Воспользовавшись периодичностью сигнала, мы заменили здесь отношение интегралов при бесконечных пределах интегрирования отношением интегралов, взятых за период m-последовательности, а последние заменили суммой интегралов за элементарные интервалы То. Заметим, что для сигналов ограниченной длительности это преобразование неправомерно, поскольку при этом область совместного существования сигналов и (t) и и (t - Ixq) некратна периоду m-последовательности Ntq. Поэтому полученный результат справедлив лишь при тс>ДГТо (строго говоря, при тс - °°).

При / = pN сохраняется синфазность сигналов и (г) и и (t - /То) (в силу периодичности m-последовательности) и р (pNio, 0) = 1.

Нормированная корреляционная функция р (т, 0) для ФМПС большой длительности при отсутствии смещения по частоте имеет вид, приведенный на рис. 4.9. При корреляционном приеме такого сигнала происходит сжатие отрезков ФМПС длительностью Nxq в импульс длительностью То, т.е. в N раз. Нетрудно убедиться, что для ФМПС величина N представляет базу Б сигнала длительностью в один период и полученное сжатие сигнала является, таким образом, предельным. Действительно, ширина спектра 9\> ФМПС определяется минимальным интервалом То между моментами манипуляции фазы и имеет порядок 1/то. Поэтому при длительности сигнала тс = Ntq его база имеет порядок Б = тс = (1Ixq)Nxq - N.

вуюших,. Поэтому как только повторятся исходные п символов, повторится и вся дальнейшая последовательность символов. Максимальная длительность периода последовательности определяется поэтому числом повторяющихся слов из п двоичных символов, начинающихся с каждого очередного символа этой последовательности, исключая слово, содержащее только символы -1. Максимальное число таких слов равно 2 -1, что и определяет максимальную длительность периода последовательности. При соответствующем выборе числа

символов и индексов л, е.....k в законе (4.61) (см. § 9.3) оказывается возможным обеспечить

формирование последовательности максимальной длительности (m-последовательности).

m-последовательность обладает замечательным свойством: при посимвольном ее сравнении на интервале в один период с той же последовательностью, смещенной на l*pN элементов, число символов этих последовательностей, отличающихся по знаку, превышает число символов одинакового знака ровно на единицу [10]. Математически это свойство можно записать в виде:

5/44* = (4.62)

l*pN

При нечетном общем числе символов в периоде N = 2я - 1 лучшая их компенсация невозможна.

Найдем нормированную корреляционную функцию р(/то, со) ФМПС большой длительности (ic>Nxo) при отсутствии смещения по частоте. Будем считать, что шаг манипуляции фазы То кратен периоду несущей частоты и, следовательно, величина со(/ -1)То кратна 2я. Тогда воспользовавшись (4.56) и (4.60), для ФМПС бесконечной длительности получим:

J и (0 и (t - /то) dt \и (0 и (г - /то) dt

Рис 4.9

Предельное сжатие сигнала по спектру до величины = 1/хс может быть достигнуто снятием фазовой манипуляции. Для этого достаточно осуществить повторную манипуляцию фазы принятого сигнала точно по тому же закону -последовательности, по которому осуществлялась манипуляция несущей при формировании ФМПС. Вид т-последовательиости, используемой при формировании сигнала, предполагается известным на приемной стороне, а требуемая фаза ее определяется в результате измерения задержки сигнала То корреляционным методом. На рис. 4.9 приведен график сечения 0 нормированной корреляционной функции р (х, 0) и поверхности неопределенности р2(х, 0) для ФМПС бесконечной длительности. Отношение уровня остатков к основным пикам тела неопределенности получается при этом равным Ш2. При сечении для 0 уровень остатков будет несколько большим*. Тем не менее при достаточно большой базе уровень остатков ФМПС может быть обеспечен весьма малым.

ФМПС обладают рядом достоинств, обеспечивающих все более широкое их применение в современных радиотехнических системах:

1) близкая к оптимальной форма тела неопределенности, что делает их удобными в совмещенных измерительных системах

2) относительная равномерность спектра в широкой полосе частот ( шумоподобность сигнала), что делает его слабо различимым для средств радиоразводки на фоне шумов и обеспечивает высокую скрытность систем, работающих с ФМПС;

3) относительная простота генерации (см. § 9.3) приема и обработки сигналов;

4) возможность использования ФМПС, представляющих одну из разновидностей корректирующих кодов (см. § 9.3), одновременно и для измерений и для передачи информации.

*> Средний уровень остатков во всей области существовании сигнала близок к UN.

Глава 5

ФИЛЬТРАЦИЯ СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ

5.1. Общая характеристика задач фильтрации

Задачей фильтрации является получение из смеси полезного сигнала и шума оценки либо полезного сигнала в целом, либо меняющегося по случайному закону параметра этого сигнала, несущего полезную информацию. В первом случае критерием оптимальности фильтрации должно служить воспроизведение с минимальными искажениями формы (спектра) реализаций *,{г) полезного случайного сигнала (t). Мерой качества фильтрации при этом может служить средний по множеству реализаций квадрат отклонения оценки сигнала % (0, получаемой на выходе фильтра, от истинной формы полезного сигнала £ (г) (дисперсия оценки):

= mi{te(0-£ ]2}, (5.1)

а критерий оптимальности отвечает минимизации дисперсии оценки o\(t).

В случае, когда задачей фильтрации является воспроизведение параметра сигнала, несущего информацию, критерии оптимальности фильтрации, естественно, будут другими, поскольку несоответствие формы входного и выходного сигналов подразумевается самой постановкой задачи. Во многих задачах выделения полезной информации таким критерием может служить получение максимального отношения сигнал/шум на выходе фильтра. Примером может служить случай передачи информации в цифровой форме, когда задача сводится к обеспечению наибольшей достоверности обнаружения сигналов, отображающих отдельные цифры. Как будет показано в § 5.4, этот же критерий обеспечивает оптимальность фильтрации такого параметра, как задержка сигнала.

Различают линейную и нелинейную фильтрацию. При линейной фильтрации сигналы претерпевают только линейные преобразования: усиление, суммирование, дифференцирование, интегрирование. При наличии обратных связей выходной сигнал также подвергается линейным преобразованиям. В общем виде выходной сигнал линейного фильтра у (t) определяется линейным дифференциальным уравнением вида:

(Ту ct~ly

Дл(0 + Дя-1(0-Н~ +. +

+ ai(/)-- + ao(r) у =/(/) (5.2)

где/(0 = L[x (г)] - результат линейных преобразований входного сигнала х (0, определяемых оператором L. Отсутствие в левой части уравнения (5.2) членов, отображающих интегральные линейные преобразования выходного сигнала, не отражается на его общности, поскольку дифференцированием обеих частей уравнения его всегда можно привести к форме (5.2). Переменные коэффициенты я, (0 отвечают случаю линейной цепи с переменными параметрами. Линейная цепь с постоянными параметрами описывается линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами

ап г+ап-г + - + . + =/(0 (5-3)

При нелинейной фильтрации осуществляются нелинейные преобразования сигналов (перемножение, возведение в степень и др.). Выходной сигнал нелинейного фильтра в общем случае определяется нелинейным дифференциальным уравнением вида

ап(у) + *n-iO0- + - +СЧ(У)$Г + *(У)У =/ (5-4)

Основными свойствами линейных цепей, вытекающими из линейности описывающих их дифференциальных уравнений, являются линейная связь между изменениями входного сигнала х (t) и выходного сигнала у (0 и справедливость принципа суперпозиции, который можно сформулировать следующим образом: если входной сигнал представить в виде суммы элементарных сигналов

то выходной сигнал будет представлять сумму соответствующих им элементарных выходных сигналов

у(0 = Ху, .

Эти два свойства, присущие только линейным цепям, резко упрощают как реализацию, так и математическое описание линейных фильтров, что и привело к выделению их в самостоятельный класс фильтров, получивших широкое применение. Естественно, ограничение используемых пре-

образований только линейными сказывается на возможностях фильтров: фильтр, оптимальный по заданному критерию в классе линейных фильтров, может существенно уступать по своим характеристикам оптимальному нелинейному фильтру. И только в частных случаях (см. § 5.3) поиск оптимальных фильтров без ограничений на вид преобразований приводит к линейным фильтрам. С другой стороны, имеются случаи, когда использование линейной фильтрации принципиально невозможно. Например, в случае, когда информационными параметрами являются фаза или частота сигнала, в силу нелинейной зависимости реализации сигнала от фильтруемого параметра может использоваться только нелинейная фильтрация. При этом оптимальными оказываются следящие фильтры (устройства фазовой или частотной автоподстройки частоты) [3].

Ограничимся рассмотрением лишь некоторых задач линейной фильтрации (читатели, интересующиеся задачами нелинейной фильтрации, могут обратиться к монографиям [1, 3,4, 14, 38].

5.2. Краткие сведения о линейных цепях и линейных преобразованиях сигналов

Принцип суперпозиции, справедливый для линейных цепей, позволяет определить их характеристики по отклику на некоторые сигналы стандартной формы (базисные функции), по которым может быть разложен входной сигнал. В качестве базисных функций при линейных преобразованиях сигналов обычно используются либо так называемые собственные функции, либо функции 5 (t) (5-импульсы).

Функция 9 (£ t) называется собственной, если она проходит через линейную цепь, не искажаясь по форме, а лишь меняя масштаб или претерпевая задержку по времени. Реакция цепи на собственную функцию в (f9 t) определяется собственным значением Н (/), характеризующим масштаб ее линейного преобразования и задержку.

Для линейной цепи с постоянными параметрами собственными функциями являются экспоненциальные функции {еу2}, а собственными значениями - комплексные величины K(f) = C(f) е^, определяющие отклик цепи на экспоненциальный комплексный сигнал е^. Величина К (/) называется передаточной функций линейной цепи с постоянными коэффициентами, а величины С (/) и ф if) - амплитудно-частотной и фазоча-стотной характеристиками цепи.

Если входной сигнал у (t) разложить в спектр по собственным функциям е1210, т.е. задать комплексным спектром £(/), то выходной сигнал у (t) будет равен сумме откликов линейной цепи на составляющие спектра

входного сигнала, т.е. будет определяться спектром K(j)S(j). Таким образом, передаточная функция К (J) полностью определяет линейное преобразование для случая цепи с постоянными параметрами.

Для линейных систем с переменными параметрами экспоненциальный комплексный сигнал уже не является собственной функцией. Отклик на него, представляющий сложное колебание, имеющее спектр частот, уже не может быть определен соответствующим значением передаточной функции. Поэтому применение методов гармонического спектрального анализа к таким системам оказывается неэффективным [14].

Помимо собственных функций, в качестве элементарных сигналов, используемых для характеристики (по отклику на них) линейных цепей, удобно применять простейшие временные сигналы - 6-импульсы. Они

удобны тем,что знание отклика на g(r)a единственный сигнал 8 (t) полностью

определяет линейную цепь, ибо спектральному разложению входного сигнала по 6-функциям соответствует обычное временное представление

Рис. 5.1

т Для цепей с переменными пара-

метрами отклик на 8-импульс зависит от конкретных значений момента воздействия 8-импульса на вход цепи и момента отсчета выходного сигнала. Функция g (t, О, определяющая отклик в момент t на 8-импульс, приложенный в момент t, называется импульсной переходной характеристикой линейной цепи. Отклик на элементарный сигнал х (t) 8 (f), представляющий спектральную составляющую разложения входного сигнала х (г) по 8-функциям, соответственно равен х (t) g (г, f). Используя принцип суперпозиции, получаем выходной сигнал как сумму откликов на воздействие элементарных входных сигналов, предшествовавших моменту /:

y(t)= jx(f)g(t,f)df,

(5.5)

Для линейных систем с постоянными параметрами отклик на 8-импульс зависит только от интервала t- / = т (рис. 5.1). в этом случае связь между входным и выходным сигналами принимает вид:

y(t)=jx(f)g(t-f)df = jx(t-x)g(x)dx.

(5.6)

Найдем связь между импульсной переходной характеристикой g (т) и передаточной функцией К (f) для линейной цепи с постоянными парамет-

рами. Для этого, воспользовавшись формулой (5.6), найдем отклик линейной цепи с импульсной переходной характеристикой g (т) на входной экспоненциальный комплексный сигнал е^*:

Je g (т) dx = е**Je**g(x)dx. (5.7)

о о

Сравнивая (5.7) со значением этого же отклика £(/)е;2, определенным через передаточную функцию К (/), получаем:

*(/)= ]g(x)dx = ]e-j2*g(x)dl, (5.8)

так как для физически реализуемых цепей g (т) = 0 при т<0 (в момент t не может существовать отклик на 8-импульс, приложенный после этого момента).

Таким образом, передаточная функция К (j) и импульсная переходная характеристика g(x) для линейных цепей с постоянными параметрами связаны преобразованиями Фурье. Обратное преобразование Фурье может быть записано в виде:

g(x)= JK(f)df. (5.9)

Рассмотрим линейные преобразования случайных сигналов, ограничиваясь рамками корреляционной теории, когда требуется определить только корреляционную функцию или энергетический спектр случайного выходного сигнала и не требуется знать полностью определяющие его многомерные законы распределения.

В общем случае, когда входной случайный сигнал £ (t) нестационарный, а линейная цепь имеет переменные параметры, корреляционная функция выходного случайного сигнала ц (t) равна:

Bn(tu h) = тх[ц (h) ц (t2)] = т{ j jg (tu fx) Z, (*,) x

xgfe, ?г)Х ()df2df2 =.

= J J g (tu fx) g (tb fi) Btf2, fx) dt\ df2 . Если входной сигнал £ (t) стационарный, то

Вц (tu h) = j jg (th fx) g (t2j f2) B%{f2 - fx) dfx df2. (5.10)

Из формулы (5.10) видно, что сигнал на выходе линейной системы с переменными параметрами нестационарен даже тогда, когда входной сигнал стационарен. Вводя новые переменные ii = f 1 - t\ и x2 = t2- t2 из (5.10) для линейной системы с постоянными параметрами получаем:

Вц (tu h) = J \g (ti) g (т2) Вф2 - т2 - fi + xi) dx\ dx2

и, вводя переменную % = t2 -1\, можно записать:

Д,(Т)= J Jg(Ti)g(T2)B(Ti-X2 + X)t/Tirfu2. (5.11)

Таким образом, для линейной цепи с постоянными параметрами входному стационарному сигналу соответствует выходной стационарный сигнал, корреляционная функция которого Вц (х) полностью определяется корреляционной функцией 2%(х) входного стационарного сигнала и импульсной переходной характеристикой g (т) линейной цепи.

Условия стационарности входного сигнала, строго говоря, предполагают бесконечную его длительность. Для сигнала конечной длительности соотношение (5.11) выполняется лишь на участках стационарности, устанавливающихся после окончания переходных процессов в цепи.

Если стационарный случайный входной сигнал £ (t) задан энергетическим спектром G$ (/), то, используя связь между энергетическим спектром входного и выходного сигналов

Сч = Jf (/)2 Gtjf) = <*</) Off) (5.12)

и формулу (2.51), получаем:

ЯЛ(Т)= ~JG4(f) cos 2nfrdf= j Gft/Xfy) cos 2njxdf. (5.13)

Средняя мощность процесса на выходе линейной системы с постоянными параметрами на основании (5.11) и (5.13) равна

сЛ= ад = j J *t(Ti - х2) g (т0 g (х2) dxxdx2 = JGtf) С*0) df. (5.14)

С помощью формул (5.10)-(5.14) полностью решается задача преобразования корреляционной функции или энергетического спектра стационарного случайного процесса при прохождении через линейную цепь.

5.3. Оптимальная линейная фильтрация по критерию минимума искажений полезного сигнала

Пусть для выделения полезного сигнала £ (г) из входного сигнала

Л = $(0 + л(0, (5Л5)

представляющего аддитивную смесь полезного сигнала с шумом п (0, используется линейный фильтр, выходной сигнал которого (0 принимается в качестве оценки полезного сигнала. Выходной сигнал линейного фильтра может быть определен через импульсную переходную характеристику фильтра g {и t):

1(0 = jg(t,t)4(t)dt. (5.16)

Задача оптимальной линейной фильтрации по критерию минимума искажения полезного сигнала сводится к выбору такой импульсной переходной характеристики фильтра g0m:(t, t)9 которая минимизирует средний квадрат ошибки оценки

crfO = i(K (0-1 (О]2}- (5Л7)

Эта задача решается методами вариационного исчисления. При этом искомая импульсная переходная характеристика оптимального фильтра gomO, О является решением следующего интегрального уравнения [1, 3]:

B(t - х,0 = j gomfc t - v) Byfc - x, v) dv, (5.18)

а минимальная дисперсия ошибки оценки определяется формулой

a4min(0 = Вч(и 0 - JgoirrC, t - v) B(t- v, 0 dv . (5.19)

о

Таким образом, для решения задачи достаточно знать только корреляционные характеристики: взаимно-корреляционную функцию Btt, f) полезного сигкала (0 и входного сигнала ц (г) и корреляционную функцию входного сигнала #Л(Л О-

Если полезный сигнал и шум стационарны и стационарно связаны (именно для этого случая задача впервые была решена Н. Винером), то уравнение (5.18) и формула (5.19) принимают вид:

Вф)= ]goJy)Br[(x-v)dv, (5.20)

о

о\ ы = Вп(0) - j gom(v) Вф) dv . (5.21)

о

Если полезный сигнал и шум к тому же являются нормальными процессами, то линейный фильтр, удовлетворяющий интегральному уравнению (5.20), оказывается оптимальным и без ограничения класса оцениваемых фильтров линейными [3].

Решение интегральных уравнений (5.18) и (5.20) связано с довольно сложными преобразованиями [1, 3], а выражения для импульсной переходной характеристики и дисперсии оценки получаются весьма громоздкими и мало наглядными. Задача значительно упрощается, если, рассматривая случай стационарных и стационарно связанных полезного сигнала и шума, не накладывать на фильтр требования физической осуществимости, т.е. полагать g (т) Ф 0 и при т < 0. Оптимальный линейный фильтр, полученный при такой идеализации импульсной переходной характеристики, носит название идеального винеровского фильтра. Для этого фильтра получаются очень простые и наглядные выражения для передаточной функции и дисперсии ошибки оценки полезной составляющей входного сигнала. И хотя эти характеристики соответствуют физически нереализуемому фильтру, они представляют большой интерес, определяя границу точности оценки сигнала, которая не может быть превышена физически реализуемыми линейными фильтрами (дополнительные ограничения на вид импульсной переходной характеристики физически реализуемых фильтров могут лишь сузить их возможности).

Определим передаточную функцию идеального винеровского фильтра и характеризующую его дисперсию ошибки оценки полезного сигнала, задавая полезный сигнал и шум, действующие на входе фильтра, значениями спектральной плотности мощности Gc(f) и Gm(f). Для упрощения задачи полезный сигнал и шум будем считать независимыми. Будем искать передаточную функцию идеального винеровского фильтра в виде

K(f) = Ct(f) = Сф(/) cos фф(/) +;СФ(/) sin срф(/), (5.22)

где Сф(/) и (рф(/) - амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики фильтра, представляющие действительные функции.

Если бы шум отсутствовал, то для неискаженной передачи полезного сигнала нужно было бы, чтобы все составляющие спектра проходили без искажений, т.е. выполнялось условие К (f) = 1 для всех значений/, для которых Gc(f) Ф 0. Искажения сигнала на выходе фильтра при наличии шума состоят из двух составляющих. Составляющей от шума, прошедшего через фильтр. Дисперсия этой составляющей искажения сигнала в соответствии с (5.14) равна:

v\=\\K(f)\2GJf)df. (5.23)

И составляющей, вызванной искажением полезного сигнала фильтром из-за отличия К (/) от 1:

а2с= j\K(f)-l\2Gc(f)df. (5.24)

В силу независимости этих искажений суммарная дисперсия ошибки оценки сигнала равна

а2* = 2 ]\K(f)\2GJf)df+2 ]\K(f)-\\2GQ(f)df. (5.25)

о о

С учетом (5.22) можем записать

°\ = 2 J [С*ф(0 GJf) + Сф0) cos фф(/) +

о

+уСф(/) sin фф(/) - if Gc(f)] df= 2 GJf) +

О

+ [CV/) - 2СФ(/) cos фф(/) + 1] Gc (/)} df. (5.26)

Поскольку подынтегральная функция в (5.26) положительна, интеграл принимает минимальное значение при максимальной абсолютной величине единственного отрицательного члена в подынтегральном выражении, т.е. при со8фф(/)=1. Это соответствует действительной передаточной функции фильтра

*(/) = Сф(/), (5.27)

обеспечивающей передачу отдельных спектральный составляющих входного сигнала без фазового сдвига.

При cos фф(/) = 1 формулу (5.26) можно преобразовать следующим образом:

а\ = 2 N [Сф(/) VG ,(/) + Gc(/)]2 - 2СФ(/) Gc(/) + о I

-л

Сс(/)

Сф(/) VGm + Gc(/)

QGc(/) 1 + Gc(/) J

GJf), { df (528)

VGm(/) + Gc(/) J Gm(/)

Поскольку оба слагаемых под знаком интеграла в (5.28) неотрицательны, а второе слагаемое от Сф(/) не зависит, оптимальное значение Сф(/) должно обращать в нуль выражение в квадратных скобках в (5.28)

K*Jf> = CU0) =---. (5.29)

Gc(f) + GJf)

Соответствующее значение дисперсии ошибки оценки полезного сигнала

2 о 7 Gm(/) Gc(/) Л

о шп = 2 J - df. (5.30)

о Gm(f) + Gc(f) Поскольку Gc(j)/[Gc(f) + Gm(/)] < 1, то

О £га

:2/сш(/)< =ошвх, (5.31)

т.е. дисперсия ошибки оценки полезного сигнала при использовании идеального фильтра всегда меньше дисперсии ошибки, вызванной действием шума при отсутствии фильтрации.

В случае, если энергетические спектры полезного сигнала и шума нигде не перекрываются, то Gm(f) Gc(f) = 0 и искажения сигнала при идеальной фильтрации вообще отсутствуют. В общем же случае фильтрация тем эффективней, чем сильнее различаются энергетические спектры полезного сигнала и шума.

Следует отметить, что условие физической реализуемости фильтра вида g (т) = 0 при т < 0 не распространяется на системы, производящие неоперативную обработку записанных в памяти реализаций входного сигнала. При неоперативной обработке хранящихся в памяти достаточно длительных реализаций сигнала могут быть получены результаты, близкие к идеальной винеровской фильтрации, поскольку при оценке полезного сигнала могут использоваться достаточно протяженные участки реализаций входного сигнала как до, так и после момента времени, к которому относится оценка.

5.4. Оптимальная линейная фильтрация по критерию максимума отношения сигнал-шум (согласованные фильтры)

Определим передаточную функцию линейного фильтра, обеспечивающего максимальное отношение мощности сигнала к мощности шума на выходе при входном сигнале, представляющем аддитивную смесь полезного сигнала заданной формы и (г) и стационарного шума п (t) с энергетическим спектром Gm(f).

Запишем комплексный спектр полезного сигнала и (t) в виде

4(/) = Сс(0е^. (5.32)

Обозначим передаточную функцию оптимального фильтра, обеспечивающего максимальное отношение сигнал/шум на выходе в некоторый момент времени to,

Kom(f, to) = Сфопт(/) в** . (5.33)

Значения отдельных спектральных составляющих полезного сигнала и (t) в момент f0 равны

(f) = Cc(f)cjl2]. (5.34)

Из физических соображений очевидно, что оптимальная фазочастот-ная характеристика фильтра ффопт(/) соответствует условию сведения к нулю в момент to фаз всех спектральных составляющих полезного сигнала на выходе фильтра. В этом случае обеспечивается максимальное значение выходного сигнала, поскольку суммирование спектральных составляющих полезного сигнала на выходе фильтра в момент Го водится к суммированию их амплитуд:

[Ивых щах Со)]= сфош(/)Сс(/)< . (5.35)

Дисперсия шума на выходе фильтра не зависит от фазочастотной характеристики последнего: она полностью определяется энергетическим спектром выходного шума, не зависящим, как известно, от фазы спектральных составляющих. Поэтому принимаем:

ФФ опгф = - Фс(/) - 2nft0 . (5.36)

Для определения амплитудно-частотной характеристики фильтра Сф0пт(/), максимизирующей отношение мощностей сигнала и шума на его выходе в момент to, оценим вклад в каждую из этих мощностей

элементарный участков спектра df Вклад участка спектра df в величину ИвыхтахОо) согласно (5.35) равен

dum = Сфо1гг(/) Сс(/) df

и соответствующий вклад в выходную мощность полезного сигнала

<Ш>СВЫХ = 2uwxma(t0) duvn = 2ummx(t0) Com(J) Cc(f) df. (5.37)

Выходная мощность шума, приходящаяся на участок спектра df.

<&тш* = GJf) CVcrrC/) df. (5.38)

Оптимальная амплитудно-частотная характеристика фильтра, обеспечивающая максимум отношения сигнал/шум на его выходе, должна отвечать условию одинакового отношения элементарных мощностей d&CBblx и d&mBux для всех участков спектра. Если на каком-то участке спектра df отношение <Свых/швых оказывается больше среднего, то для улучшения общего отношения сигнал/шум передаточную функцию на этой частоте было бы выгодно увеличивать до тех пор, пока отношение свых/швых не снизилось бы до среднего уровня [из (5.37) и (5.38) видно, что С увеличением Сф(/) это отношение уменьшается]. При нарушении этого условия в обратную сторону передаточную функцию на этом участке выгодно уменьшать до тех пор, пока отношение dCBbIX/rfinBbIX не поднимается до среднего уровня.

Условие постоянства по всему спектру отношения свых/швых в соответствии с (5.37) и (5.38) имеет вид:

d&cK*x 2JWmax(*o) Cp(f) CQnsj. <Йшвых Gm(f) СфотФ

откуда следует, что

C*om(f) = kCc(f)/GJf). (5.39)

Опуская несущественный для определения передаточной функции фильтра постоянный масштабный коэффициент к, из (5.36) получаем:

JUT. о) = § ехр {-Лфс(/) + 2тф0}} =

= f§ ехрЫгяА,), (5.40)

где &*c(f) - величина, комплексно-сопряженная спектру полезного сигнала $c(j).

В случае, когда шум белый и Gm(f) = Nq/2 = const, передаточная функция (5.40) принимает вид:

*U/; t0) = с(0 ехр (-j2nfto) (5.41)

Таким образом, в случае белого шума передаточная функция линейного фильтра, максимизирующего отношение сигнал-шум на его выходе, должна быть согласована (комплексно сопряжена) со спектром полезного сигнала (сомножитель е~70 в (5.41) не влияет на форму выходного сигнала, а определяет лишь задержку to момента достижения максимума). Передаточную функцию (5.40), отвечающую случаю действия произвольного стационарного шума, можно считать согласованной со спектром полезной составляющей входного сигнала, подвергнутого предварительно операции отбеливания шума, отображаемой делителем GJf). Линейные фильтры, оптимальные по критерию максимума отношения сигнал/шум на выходе, благодаря этому свойству их передаточных функций, получили название согласованных фильтров.

Определим теперь импульсную передаточную характеристику согласованного фильтра gorrr(x; to). В соответствии с (5.8)

*ош(т; о) = J Xomtf к) **** df=

= J ?с(Л е-** е** df= j &(-/) е™** df=

= \if)tJ1-x)df=u(to-x). (5.42)

Для физически реализуемого фильтра полезный сигнал, подвергаемый фильтрации, должен задаваться на интервале [to - Г, ?0], предшествующем моменту отсчета выходного сигнала г0. Импульсная передаточная характеристика согласованного фильтра g0m(v, t0) получается, как следует из (5.42), зеркальным отображением сигнала и (t) относительно вертикальной оси, проходящей через точку t = tih если начало отсчета т совместить с этой точкой (рис. 5.2).

Определим максимальное отношение сигнал/шум на выходе согласованного фильтра u2BbJt0)/a2m вых при действии белого шума. Используя передаточную функцию согласованного фильтра (5:41), получаем:

вых(о) = J КоЖ to) £(/) еу2 4f=

= ffMe-&M*** j <*(/)2 (5.43)

где в соответствии с равенством Парсеваля Ес - энергия полезного сигнала на выходе фильтра.

0 йРГ о Т х

Рис. 5.2

Согласно (5.14) средняя мощность шума на выходе фильтра равна а2швых= J Щ- \Kom&bfdf=

= f l&V)\2df=f £с, (5.44)

где N(/2 - спектральная плотность мощности белого шума (Л^ - спектральная плотность, соответствующая одностороннему спектру шума). Из (5.43) и (5.44) следует, что

2вь (о)/а2швых = 2EC/N0.

Определим сигнальную составляющую на выходе согласованного фильтра и, ых, соответствующую полезной составляющей входного сигнала и (0 при импульсной передаточной характеристике (5.41). В соответствии с (5.6)

5вых(0= J w(f-x)goirr(T;fo)A= и(*-т)и(Г0-т)А. о о

Введя новые переменные to - х = f и to -1 = т', получим:

usmJLt) = J и (О и (t -x)df= \и (О и {f - т') df , (5.45)

поскольку предполагается, что и (г) = 0 при г > f0. Интеграл в правой части (5.45) представляет собой сигнальную составляющую корреляционного интеграла (4.17) для случая, когда оцениваемым параметром является временная задержка сигнала х. Максимум полезной составляющей вы-

ходного сигнала согласованного фильтра, достигаемый при t = to совпадает с максимумом сигнальной составляющей корреляционного интеграла, достигаемым при r0 -1 = т' = 0. В обоих случаях отношение сигнальной и шумовой составляющих равно 2EJNo.

Таким образом, использование согласованного фильтра и корреляционного приемника дает эквивалентные результаты. Поэтому согласованный фильтр может использоваться для решения тех же задач, что и коррелятор, а именно: для оптимального обнаружения сигналов, оптимальной оценки их временной задержки, предельного сжатия по длительности широкополосных сигналов.

5.5. Примеры согласованных фильтров

В общем случае для сигнала и (t) произвольной формы техническая реализация согласованного фильтра представляет большие трудности. Даже для простых сигналов трудно обеспечить строгое выполнение условия согласования (5.41).

Рассмотрим в качестве примера простой сигнал в виде прямоугольного видеоимпульса (рис. 5.3):

Г ии при -xJ2 / Хи/2 , ию(0= о при|1 > xJ2.

Комплексный спектр видеоимпульса

&(/) = J uHci*ftdt = J uucos2nftdtuHxuS- =инхя

где v = l/tjg, - целая часть /ин.

Таким образом, для прямоугольного видеоимпульса

Фви(/) = Я [/Ти]ц

(5.48)

(5.49)

Вид амплитудной и фазовой характеристик комплексного спектра прямоугольного видеоимпульса приведен на рис. 5.4 (штриховые линии). Амплитудная характеристика этого спектра Сви(/) имеет многолепестковую форму. Функция См(/) обращается в нуль в граничных точках между лепестками, отвечающих условию

sin7c/rH

Ъ. 0 h.

~ 2 2

Рис 53

(5.46)

(5.47)

/=v/xH, v = ±l, ±2.....

(5.50)

и имеет максимумы в точках

I v 1+ 1/2

/= 0 и /= --sign v, v = ±1, ±2, ±3,

(5.51)

где sign v - функция знака.