Глава 4.

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛОВ

4.1. Байесовская оценка параметров сигнала. Функция риска

Пусть в полезном сигнала и (г, а) нас интересует значение параметра а, несущего информацию. Рассмотрим случай, когда на вход приемника поступает аддитивная смесь сигнала и шума.

y(t) = u(t9a) + n(t) (4.1)

Точное определение интересующего нас параметра а в этих условиях невозможно. Задача заключается в определении так называемой оценки этого параметра а = а (у) по данной реализации входного сигнала и (О, дающей наилучшее (в определенном смысле) приближение к действительному значению этого параметра.

Для определения критерия оптимальности оценки параметра а так же, как и в задаче обнаружения, припишем каждому значению ошибки оценки а - а определенные стоимости потерь (риска) R (а - а). Функцию R (а - а) назовем функцией риска. Она является неотрицательной функцией ошибки оценки.

В качестве критерия оптимальности оценки естественно принять критерий минимума соответствующего ей среднего значения риска для всех возможных значений параметра а и всех возможных реализаций смеси сигнала и шума у (г). Этот критерий предложен Байесом и носит его имя. Его можно рассматривать как обобщение критерия Байеса, принятого при рассмотрении задачи обнаружения.

Полагая спектр реализаций у (г) ограниченным в пределах полосы А/, можно задавать закон распределения этих реализаций соответствующим многомерным законам распределения дискретных выборок. Совместная плотность вероятности и>сш(а, у) принятой реализации у (г) и некоторого значения и (г, а) параметра полезного сигнала и (г, а) будет соответствовать плотности вероятности m-мерной выборки реализации шума n(t)=y(t)-u(t,a):

и>сш (a, y) = wm[y (h) - и (tu а), у а) - и (г2, а), /(гт) - и (*т, а)],

Глава 4. Статистическая теория оценки параметров сигналов

где tu h,tm - дискретные моменты отсчета значений шума п (t\ следующие с интервалом At = 1/2А/.

Величина среднего риска для выбранной функции риска R (а - а) и известного закона распределения (а, у) равна

Rjjdy JR(a-a)wcia(a9y)da9

(4.2)

где Z - область дл-мерного пространства, охватывающая дискретные выборки всех возможных реализаций у (f). Поскольку внутренний интеграл в (4.2) положителен, то условие минимума величины R можно заменить условием минимума внутреннего интеграла для каждой реализации у (f), т.е. минимума условного риска, соответствующего частной реализации у (t). Таким образом, требуется найти значение оценки параметра а удовлетворяющее условию:

-jL J/?(a-a)wCOI(a,y)rfa = 0. (4.3)

Очевидно, что получаемое по условию (4.3) значение оценки зависит от вида функции риска. Рассмотрим, во что обращается условие (4.3) для трех характерных форм функции риска:

1. Функция риска имеет вид параболы (рис. 4.1, а)

*(a-a) = (a-a)2,

(4.4)

и критерий минимума среднего риска соответствует критерию минимума среднего квадрата ошибки оценки.

а-а

а-а

а-а

Рис 4.1

2. Функция риска (рис. 4.1, б) имеет вид: R (а - а) = {а - а|,

(4.5)

и критерий минимума среднего риска отвечает критерию минимума среднего значения модуля ошибки оценки.

3. Функция риска (рис. 4.1, в) имеет вид:

Я(а-а) = <

О при а-а|А/2,

R = const при а - а| > А/2 .

(4.6)

Функция риска (4.6) характерна для систем, которые при ошибке оценки параметра, превосходящей величину Д/2, вообще не решают поставленную задачу, а при ошибке, не превышающей величину Л/2, обеспечивают полноценное решение поставленной задачи.

Для функции риска (4.4) условие (4.3) принимает вид

(4.7)

-Jr J wcm(a,y)(a-a)2 da =

= 2a Jwcm(a, y)da-2 Jawcni(a, y) da = 0 .

Используя (2.4), формулу (4.7) можно переписать в виде:

awm{y) J wm(a\y) da - wjy) Jawcm(ay) da = 0,

где wm(y) - плотность вероятности получения реализации у (t), определяемой данной m-мерной выборкой ее отсчетов, при любых значениях параметра а. Учитывая, что

получаем:

и>сш(а|у)Ла= 1, а= Jawcni(ay) da.

(4.8)

Таким образом, оптимальная оценка параметра сигнала а, обеспечивающая минимум среднего квадрата отклонения оценки от истинного значения параметра, определяется как апостериорное математическое ожидание величины а, соответствующее поступившей реализации у (t), или что, то же самое, как абсцисса центра тяжести апостериорного закона распределения возможных значений параметра а.

Для функции риска вида (4.5) условие (4.3) принимает вид:

d da

j a - a Wcmta, y) da

d d&

w 0 J(a-a)x

x wcni(ay) da + wm(y) J(a - a) wcm(ay) da

или

Jvvcm(ay) da = Jwcm(ay)da. (4.9)

а

Таким образом, байесовская оценка параметра по критерию минимума среднего значения модуля ошибки соответствует абсциссе медианы апостериорного закона распределения wcm(ay), делящей пополам площадь фигуры, отвечающей этому закону.

Во многих практических случаях, в частности при действии аддитивной нормальной помехи, функция wcm(a\y) симметрична относительно ее и^ф) максимума (рис. 4.2). В этом случае абс-

циссы центра тяжести и медианы апостериорного закона распределения wcm(a\y) совпадают с его максимумом и оценка параметра для обоих рассмотренных выше видов функции риска соответствует мак--2--> симуму апостериорной плотности вероят-

Рис.4.2 НОСТИ Wcmtely).

В случае, когда функция риска имеет вид (4.6), условие (4.3) соответствует условию минимума величины

и>сщ(а|у) da =

[- а+д/2 -

1- J и>сш(а|уЫа . (4.10)

Если при этом допустимая ошибка Л/2 мала по сравнению с областью возможных значений параметра, то минимум выражения (4.10), отвечающий максимуму вычитаемого интеграла, обеспечивается при выборе оценки, соответствующей максимуму апостериорной плотности вероятности н^ф).

Таким образом при некоторых дополнительных условиях (относительная малость величины Л при использовании функции риска вида (4.6) и симметрия апостериорного закона распределения wcm(a\y) относительно его максимума), которые достаточно хорошо соблюдаются для многих практических задач, при всех трех существенно различных формах функции риска критерий Байеса свелся к общему критерию максимума апостериорной вероятности. Это свойство сравнительно слабой зависимости байесовской оценки от конкретного выбора функции риска при решении многих практических задач особенно важно, если учесть трудности строгого обоснования формы функции риска.

Рассмотрим случай высокоточных измерений, когда область неопределенности значений параметра а при известной реализации у (г), определяемая апостериорным законом распределения wcul(a\y), много уже области возможных значений параметра по априорной информации (до измерений), определяемой распределением w (а). В этом случае в узкой области апостериорного распределения и>сш(ф) можно принять априорное распределение w (а) = const. Воспользуемся формулой Байеса (2.9), трансформировав ее применительно к случаю распределения значений непрерывных величин:

Waaim= mMa)MUM-- (4П)

J w(a) WcnCyja) da

Из (4.11) следует, что при w (a) = const апостериорная плотность вероятности и>сш(а|у) пропорциональна значению и^О^а). Функция и>сш(у|а), представляющая плотность вероятности получения данной реализации у (г) при фиксированном значении а, характеризует правдоподобность той или иной гипотезы о значении параметра а при известной реализации у (t) и называется функцией правдоподобия. Критерий максимума апостериорной плотности вероятности при высокоточных измерениях сводится, таким образом, к критерию максимума функции правдоподобия.

Критерий максимума функции правдоподобия можно использовать также в случае, когда отсутствует априорная информация о законе распределения параметра, ибо при этом наиболее естественно принять это распределение равномерным.

4.2. Оптимальная оценка параметров сигнала при действии нормального белого шума

Рассмотрим случай высокоточных измерений параметра а, полагая все остальные параметры сигнала известными. Сигнал в этом случае может быть записан в виде и (/, а). При действии белого нормального аддитивного шума апостериорная плотность вероятности wcul(a\y) может приниматься симметричной относительно ее максимума. При этом оптимальная оценка параметра, как было показано, может производиться по критерию максимума функции правдоподобия. Введем вместо функции правдоподобия wcm(y\a) отношение правдоподобия

А 0*1)= Г, (4.12)

где wm(y) - плотность вероятности получения реализации у (г) при действии одного только шума. По форме записи зависимость вида wm(y), приводящую в соответствие каждой реализации функции y(t) определенное число, следовало бы обозначать термином функщ^нал . Однако мы будем пользоваться термином плотность вероятности , имея в виду, что реализации y(t) задаются дискретными m-мерными выборками и wm(y) обозначают плотность вероятности соответствующих выборок.

Поскольку знаменатель в (4.12) не зависит от а, то максимум Л (у\а) по параметру а совпадает с максимумом Wan(y\a) и критерий максимума функции правдоподобия можно заменить критерием максимума отношения правдоподобия (4.12). Перепишем отношение правдоподобия (4.12) в виде:

, y(t)- fta)] (413)

wm\y(t)]

учитывая, что плотность вероятности wcm(y\a) реализации у (г) = и (t, a) + + п (t) эквивалентна плотности вероятности реализации шума n(t) = u (t) -- и (Г, а).

Нетрудно убедиться, что отношение правдоподобия (4.13) имеет точно такой же вид, как отношение правдоподобия (3.21) в бинарной задаче обнаружения при щ(г) = и (t, a), uo(t) = 0. Поэтому с учетом (3.21) - (3.23) получим

1пЛ(у|а) = ~ 4- ]{b{t)-u(ua)?-y\t)}dt. (4.14)

То, что пределы интегрирования взяты от -< до +°°, не нарушает общности формулы (4.14), поскольку фактические пределы интегрирования определяются областью существования сигнала и (ty a). Преобразуя выражение (4.14), получаем

1пЛЫа) = --~[ ]u\t,a)dt-2 ]и (t) и (Г, a) *J =

= Ж*)-Е(*) (4.15)

где

В(а)= ]y(i)u(uz)dt

называется корреляционным интегралом;

Е(а)= \u\t,a)dt

= 0.

(4.16)

- энергия сигнала при данном значении параметра а.

Поскольку максимум функции (4.13) совпадает с максимумом ее логарифма, то оптимальную оценку параметра а определим из условия:

d \lB(a) Е(а) da [ No No В частном случае, когда энергия сигнала не зависит от значения измеряемого параметра, получение оптимальной оценки параметра сводится к определению его значения а обеспечивающего максимум корреляционного интеграла В (а). Функциональная схема корреляционного приемника, реализующего оптимальную оценку параметра а сигнала, приведена на рис. 4.3. В корреляторе 1 определяются значения корреляционного интеграла

0+1 )т

В(ад= J y{i)uo(t,addt

на последовательных интервалах длительностью Г, кратной периоду повторения сигнала. При этом в каждом цикле вычисления величины В (а,-) параметр а, в опорном сигнале uo(t, а,) меняется с достаточно малым шагом. В корреляторе 2 формируется величина В (a, i), соответствующая на один шаг меньшему смещению параметра а в опорном сигнале В (г, a,--i), поступающем с блока смещения по а одновременно с сигналом В (t, at). Устройство сравнения фиксирует переход через нуль разности очередного значения корреляционного интеграла В (а,) и предшествующего его значения В (аы), (переход через максимум В (а,)) и выдает сигнал на считывание соответствующего значения параметра а в качестве оптимальной оценки а.

Коррелятор 2

Коррелятор 1

udt, Od-i)

Блок смещения no a

Устройство сравнения

Сигнал на считывание

Измеритель ОС,

Рис. 43

Легко заметить большое сходство корреляционных приемников, работающих в режиме обнаружения сигнала (рис. 3.5) и в режиме оценки параметра (рис. 4.3). Отличие состоит в том, что в первом случае фиксируется факт превышения корреляционным интегралом некоторого порогового уровня при относительно грубой синхронизации местного и принимаемого сигнала, а во втором - значение параметра местного сигнала, при котором обеспечивается максимум корреляционного интеграла. Соответственно при поиске обнаруживаемого сигнала выбирается максимально допустимый шаг изменения параметров местного сигнала, не приводящий еще к критическому для достоверности обнаружения снижению максимального значения корреляционного интеграла (занижение этого шага приводило бы к неоправданному увеличению времени поиска). При оценке параметров шаг изменения параметров местного сигнала определяется требуемой точностью измерения. Отсюда следует, что режим обнаружения одновременно может служить и для грубой оценки параметров сигнала, позволяющей сузить область изменения параметров местного сигнала в режиме измерений.

Запишем корреляционный интеграл, получающийся при совместной обработке принятого сигнала у (t) и опорного сигнала щ (f, а) при некотором значении параметра а в виде

В (а) = ][u(t) + n (t)] щ (г, a) dt = BQ(a) + Bn, (4.17)

где

#o(a)= ju(t)uo(t,a)dt

- сигнальная составляющая корреляционного интеграла;

Вп= jn(t)uo(t,a)dt

- его шумовая составляющая.

Рассмотрим потенциальную точность измерения параметров сильного сигнала (E>N0) для случая, когда все параметры, кроме измеряемого, известны. Под потенциальной точностью измерения параметров полезного сигнала и (0 будем понимать тот предел точности, который при заданных форме и энергии сигнала и спектральной плотности шума не может быть улучшен при сколь угодно совершенной аппаратуре. Этот предел соответствует точности оптимальной оценки параметра сигнала при действии шума по критерию максимума отношения правдоподобия.

Найдем выражение для апостериорного закона распределения Wcm(a;y) параметра а. Как было показано, при высокоточных измерениях

он пропорционален функции правдоподобия и>сшСуа), которая по аналогии с (3.20) с учетом замены суммы интегралом, как в (3.21) - (3.23), с точностью до множителя, не зависящего от а, определяется экспонентой

Поэтому, положив, что энергия сигнала

£=и2(г,а)Л= \y\t)dt

не зависит от значения параметра оц получаем

и^а|)0 = *ехр]y2(t)dt-2 ]y(t)u(tya)dt +

+ JV(>, а) aJ j= к ехр [2£ - 2В (а)] = Jt, ехр [2В (a)/NQ]. (4.18)

Разложим функцию В (а) в окрестности оптимальной оценки а, соответствующей максимуму (вершине) В (а), в ряд Тэйлора, учитывая, что Я'(й) = 0,

В (а) = В (а) + р-(а - а)2 + ... (4.19)

Отбросив члены выше второго порядка малости, т.е. ограничившись аппроксимацией кривой В (а) в окрестности точки а параболой, выражение (4.18) перепишем в виде:

ПсшШ = h ехр [2В (a)/N0] ехр {[B (a)/N0] (а - а)2} =

= с ехр {[B (a)/N0] (а - а)2}, (4.20)

где с - некоторая константа.

Таким образом получаем, что апостериорный закон распределения Wcw(a\y) можно считать нормальным с дисперсией

а2а=-#о/2я (а) (4.21)

и средним значением а. [заметим, что правая часть (4.21) всегда положительна, так как по условию максимума £ (а) < 0.] Для сильного сигнала B <Bs(a) и корреляционный интеграл В (а) можно заменить его сигнальной составляющей Bs{a), приняв

*Г(а) = 2Г,(ао),

где ао - абсцисса точки максимума В^а).

Тогда для дисперсии оценки параметра получим следующее выражение:

а2 - 1 - 1 (4 22)

2B 5(a)/NQ (2ш0)р7а) где Ps(a) = Bs(a)/E - нормированная сигнальная составляющая корреляционного интеграла.

Закон распределения ошибки оценки соответственно имеет вид

и^(ф)= -je **2*. (4.23)

4.3. Особенности оптимальной оценки параметров сигнала, зависящего от других случайных параметров, не подлежащих оценке

Рассмотрим теперь случай, когда сигнал имеет вид u (t. а; Рь .... р*), и зависит не только от оцениваемого параметра ос, но и от случайных параметров Pi.....Рь оценка которых не

производится. Последние часто называют несущественными параметрами сигнала, а оцениваемый параметр а - существенным.

В этом случае совместная плотность вероятности реализации входного сигнала у (0 и полезной его составляющей u (t, a; Pi.р*) зависит от сочетания всех параметров а, рь.... Рь определяющих полезный сигнал, и может быть записана в виде *vcm(a. Pi.....рь, у)

Для получения функции среднего риска нужно провести осреднение условной функции риска по всем реализациям входного сигнала и всем возможным сочетаниям параметров а. рь .... Рь определяющих полезный сигнал:

R= jay J/?(a-a)wcin(a.p1,....pby)arfpi ...,ф = z -

= jay JR(a-a)wy)da, (4.24)

z -~

где

н>сш(0с у) = J ... JwcoCocP!.....РьУ)ф1 ...dfpbb

Таким образом, в данном случае формула для среднего риска отличается от (4.2) лишь тем.что вместо совместной плотности вероятности и>сш(а, у) используется осредненная по всем возможным значениям несущественных параметров совместная плотность вероятности wcm(a, у). Поэтому и формулы для оценки параметра а будут отличаться лишь тем,

что входящие в них вероятностные характеристики (апостериорная плотность вероятности, функция правдоподобия, отношение правдоподобия) предварительно осредняются по всем несущественным параметрам.

В качестве примера рассмотрим задачу оценки временной задержки х узкополосного сигнала

и (t, х, фо) = U (/ - х) cos [2я/0(/ - х) + ф (г - х) + фо], (4.25)

где несущественным случайным параметром является начальная фаза фо высокочастотного заполнения сигнала.

Как и в предыдущем параграфе, будем рассматривать высокоточные измерения при действии помехи в виде аддитивного белого шума. В этом случае оптимальная оценка параметра х может производиться по критерию максимума отношения правдоподобия. Осред-ненное значение отношения правдоподобия для рассматриваемой задачи можно получить, воспользовавшись формулами (3.54) - (3.57), если заменить в них сигнал м(г, фо) на и (г, х, фо). Тогда получим:

А(у|х) = ехр (- fi/iVb) Шя (тУМ)], (4.26)

где Е - энергия сигнала и (г, х, фо), не зависящая от параметров х и фо;

?(t) = Vi(*) + <?22(t), (4.27)

?i(t) =\y(t)U it) (t - x) cos [2я/0(г - x) + ф (f - x)] dt, (4.28)

qiii) =jy(t)U(0 (f-x)sin [2я/0(/- x) + ф (/ -x)] dt. (4.29)

Поскольку для положительных значений аргумента /о [2q (х)/Щ - монотонно возрастающая функция, максимум отношения правдоподобия (4.26) отвечает максимуму отношения 2<7(хУЛГ0. При большом отношении сигнал-шум можно принять y(t) = u (г, х, фо) и функцию q (х) заменить ее сигнальной составляющей

qJW = V (X) + (X), (4.30)

где

qu(i)=jU(t-х0cos [2я/0(*-хО + Ф(f-f) + фо] U(t-x)x хсо8[2я/о(*-х) + ф(/-х)]Л = J<y(f-x0cos[2*/0(/-x) + + Ф С - *)] U (t - х) cos [2я/о(г - х) + ф (г - х)] dt У cos фо -

- sin2rc/0(T - тО sin фо]2 + [sin 2я/о(х - хО cos фо + ~*

-1 /а-т08т[2з^оа--т/) + ф(г-х')]х х U (г - х) cos [2я/0(* -х) + ф (* - х)] Л| sin фо ; (4.31)

<Ыт) = а-хОсс*[2я/0(/-хО + ф(/-тО]х х U 0 - х) sin [2я/0(г - х) + ф (t - х)] Л J- cos фо -- I J (г--х/)8ш[2я/Ьа-т/) + ф(г--х/)]х

x U (t - х) sin [2я/о(г -X) + ф(г- x)] <ft J- sin фо ; (4.32)

Обозначим первый интеграл в (4.31) через &п и второй интеграл в (4.32) - через З^гг-Эти интегралы представляют корреляционную функцию узкополосного сигнала (4.25) и в соответствии с (2.69) могут быть записаны в виде

&\ 1 = 22 = ЯонЛт -т') cos 2я/0(х - хО, (4.33)

где #онч(т -т7) - корреляционная функция несущего информацию модулирующего сигнала для временного смещения х -х/.

Преобразуем два других интеграла, входящие в (4.31) и (4.32), представив временную задержку х в виде х = х - х7. Для узкополосного сигнала, фаза и амплитуда которого меняется медленно по сравнению с несущей частотой, можно принять:

£/(/-T) = t/(-T ); ф(/-х) = ф(/-х ); В0нч(х-т')= Яонч(т -т0. Тогда второй интеграл в (4.31) можно привести к виду;

&п = #он,(т -т') sin 2я/0(х -хО , (4.34)

а первый интеграл в (4.32)

#21 = - 5онч(т -хО sin 2я/о(х -хО . (4.35)

Подставляя (4.33)-(4.35) вместо соответствующих интегралов в (4.31) и (4.32), а затем (4.31) и (4.32) - в (4.30), получим:

qs № = JWx - f) V[cos 2я/0(х - x7) cos фо -

+ cos 2irfo(x - тО sin фо] = ЯяяСт -т7).

(4.36)

Таким образом, qs(t) представляет корреляционный интеграл для модулирующего сигнала. Поэтому оптимальная оценка величины запаздывания сигнала со случайной фазой фо, отвечающая условию максимума отношения 2q£t)INQ = 2£w(x - x)/N0 определяется из условия: ,

~2Втч (т-тУ

d Г2Дж(т-1Т| п Л L J

(4.37)

отличающееся от (4.16) при £ (а) = const только тем, что корреляционный интеграл определяется не для высокочастотного сигнала, а для несущего информацию модулирующего сигнала. Соответственно и в формуле (4.22) для определения дисперсии оценки в случае сигнала со случайной фазой вместо величины B s(t) должна использоваться вторая производная по параметру х от корреляционного интеграла модулирующего сигнала £ лп(т - т7)-

г- Коррелятор 2

АД 1 -+ Коррелятор 1

Блок временной задержки

Устройство сравнения

Сигнал на v считывание

Измеритель Т/

Рис 4.4

Оптимальная схема корреляционного приемника в этом случае отличается от схемы, изображенной на рис. 4.3, лишь наличием детектора и использованием модулирующего сигнала в качестве опорного сигнала коррелятора. На рис. 4.4 эта схема приведена применительно к случаю амплитудно-модулированного сигнала. Введя обратную связь от устройства сравнения к блоку временной задержки, можно осуществить измерение задержки в режиме автоматического слежения за сигналом.

4.4. Потенциальная точность измерения временной задержки и доплеровского сдвига частоты сигнала

При радиотехнических измерениях параметров движения объектов определение координат сводится к измерению временной задержки сигнала, а измерение составляющих скорости - к измерению доплеровского смещения частоты. Определим потенциальную точность измерения этих параметров.

Воспользуемся формулой (4.22) для определения потенциальной точности измерения задержки т сигнала u (г) произвольной формы с извест-

ными остальными параметрами. Сигнальная составляющая корреляционного интеграла Bs(t) в этом случае имеет вид:

(т) = J и (t - ю) и (г - т) dt (4.38)

и соответственно

В &о) = J u(t - то) u (t - то) А. (4.39) Интегрируя (4.39) по частям, получаем:

# i(To) = M(f-r0) u\t-Xo)

- JV(-T0)]2A. (4.40)

Первый член л правой части (4.40) равен нулю, поскольку реальные сигналы имеют конечную длительность и и (©о) = и (-°о) = 0. Поэтому из (4.40) получаем

Р ,Ы = £8* = - =b-. (4.41)

JV (/-то) Л

На основании равенства Парсеваля можем записать

]ji\t-x0)dt= J£(/)2#, (4.42)

где £ (j) - комплексный спектр сигнала.

Модуль спектра производной сигнала u\t - т0) отличается от модуля спектра самого сигнала только множителем 2я/, т.е. равен 2я/£(/), и поэтому

\\u\t - то)]2 dt = 4я2 ]f2№? df. (4.43)

На основании соотношений (4.42) и (4.43) формулу (4.41) можно записать в виде:

4*2]f2m\2df

р *(то) =--- . (4.44)

[M2df

Введем понятие эквивалентной ширины спектра сигнала А/э. определяемой соотношением

Д/2,= -3=- . (4.45)

Тогдар 8(т0) = -ДГ2,и

A~[g V] . (4.46)

Формула (4.46) имеет ясный физический смысл: чувствительность дальномерного канала к изменению задержки сигнала т при данном отношении E/Nq будет тем выше, чем более изрезанным будет рельеф сигнала и (0, чем острее и выше будут отдельные пики этого рельефа. Вклад отдельных спектральных составляющих в рельеф сигнала зависит как от их частот, так и от амплитуды, что и учитывается в формуле для эквивалентной ширины спектра весовыми коэффициентами £(/) при f2. Значение А/э зависит от формы спектра сигнала, а при заданной его форме пропорционально ширине спектра. Например, для сигнала, имеющего в полосе ± А/72 равномерный сплошной спектр £(/) = So получаем:

4nzS\ }f2df 2 2 Af2 - -Afc я 4г

°* э , w - з S2of df

Найдем потенциальную точность измерения доплеровского смещения &л частоты сигнала при известных остальных его параметрах. Сигнальную составляющую корреляционного интеграла В5(9Ц) можно записать в виде

а ее вторую производную в виде

Я ХЗю)= ]и(и?а)и <ф,<?а)<1г. (4.47)

Используем представление сигнала через его комплексный спектр S (/). Совместим начало отсчета времени с центром масс сигнала. Тогда смещение его средней частоты на величину отображается сдвигом по оси частот на ту же величину каждой из спектральных составляющих при неизменном значении их комплексного спектра. Поэтому можем записать

и (и = J $ if) е df, (4.48)

где (/) - комплексный спектр сигнала и (г, 0). После двукратного дифференцирования (4.48) по параметру &А получаем:

* *(. 9k) = - 4*V р (f) е'2* df. (4.49)

На основании (4.47)-(4.49) имеем:

ад = - J 4*V (г, [ р 0) е **** #J х хЛ = -4я2 ]t4(t,&a)dt,

4jtJ/V(f)<U

J и2(0 А

Введем эквивалентную длительность сигнала Т3 определяемую соотношением:

4я ]tu\t) dt

7*3= - . (4.50)

ju2(t)dt

где время t отсчитывается от середины ( центра масс ) сигнала и (г). Тогда получим

-[f >H~4f *] <4-51)

Поясним физический смысл формул (4.50) и (4.51). Зависимость точности оценки частоты от длительности сигнала при фиксированной его форме очевидна: чем больше длительность сигнала, тем меньшие изменения частоты приводят к смещению фазы за время наблюдения, различимому на фоне шума. При определении эквивалентной длительности Тэ (точнее, эквивалентного значения Г*э) для сигнала произвольной формы учитывается то обстоятельство, что вклад отдельных отсчетов сигнала в оценку частоты определяется удалением t момента отсчета от середины сигнала, характеризующим накапливающееся смещение фазы при данном смещении частоты. Поэтому величина 7э определяется по формуле (4.50) как средневзвешенное значение Г с весовыми коэффициентами

u\i). В частности, для гармонической посылки длительностью тс (прямоугольного радиоимпульса) Т\ = n2x2<Ji.

Из формул (4.46) и (4.51) следует, что при совмещении измерений координат и составляющих скорости с использованием простых сигналов, имеющих базу Д/Т= 1, мы сталкиваемся с противоречием: для повышения точности измерения координат следует стремиться к расширению спектра сигнала (что для простых сигналов означает уменьшение его длительности), а для повышения точности измерения составляющих скорости - к увеличению его длительности. Это противоречие является проявлением общего свойства сигналов получившего название принципа неопределенности.

При использовании простых сигналов аналогичное противоречие возникает и при совмещении задач обнаружения и измерения координат. Дальность обнаружения, как было показано в гл. 3, зависит только от отношения энергии сигнала к спектральной плотности шума. При ограниченной пиковой мощности передатчика увеличение энергии сигнала требует увеличения его длительности, что приводит (для простого сигнала) к сужению во столько же раз его спектра и, в конечном счете, к уменьшению величины £А/2Э, а значит, и к ухудшению потенциальной точности измерения координат.

Оба эти противоречия разрешаются за счет применения сигналов сложной формы - 4ак называемых широкополосных сигналов - с базой Л/Г > 1.

4.5. Совместная оценка фазы и частоты сигнала. Теорема неопределенности

Важнейшими характеристиками измерительных каналов являются потенциальная точность и разрешающая способность. Рассмотрим их зависимость от характеристик сигнала, зафиксировав спектральную плотность шума.

Для потенциальной точности эта зависимость, как следует из §4.3, достаточно полно характеризуется сигнальной составляющей В£а) корреляционной функции сигнала по соответствующим его параметрам: по времени прихода - при измерении координат и по частоте - при измерении составляющих скорости. Чем больше вторая производная от корреляционной функции по измеряемому параметру В £а), т.е. чем острее пик корреляционной функции, тем выше чувствительность системы к изменению параметра а. Это хорошо видно при рассмотрении условий корреляционного приема, при котором обеспечивается оптимальная оценка параметров

Сигналов известной формы: чем острее пик корреляционной функции, тем меньшие смещения опорного сигнала по измеряемому параметру ощутимы на фоне шума. При совместном измерении координат и составляющих скорости важна двумерная корреляционная функция В (t, ОД.

Разрешающая способность может рассматриваться либо в смысле обнаружения сигнала, либо в смысле измерения его параметров. Она определяется минимальным расстоянием между двумя сигналами в пространстве наблюдаемых параметров, при котором Сще обеспечиваются установленные требования к характеристикам обнаружения или к точности измерения параметров каждого из сигналов. В § 3.6 при рассмотрении условий разрешения сигналов в смысле обнаружения было показано, что эти условия зависят от остроты пика двумерной корреляционной функции В (т, ОД, определяющей влияние соседнего сигнала на отношение правдоподобия для рассматриваемого сигнала. Поскольку отношение правдоподобия определяет и точность оценки параметров сигнала, то условия разрешения сигналов в смысле измерения будут также определяться остротой пика функции В (т, ОД.

Таким образом, и потенциальная точность, и разрешающая способность измерительных систем определяются одной и той же характеристикой сигнала - двумерной корреляционной функцией В (т, ОД. Эта общность требований к характеристикам сигнала легко объяснима близостью задач в обоих случаях. И определение точного положения сигнала в пространстве наблюдаемых параметров на фоне шума (потенциальная точность), и различение двух сигналов (разрешающая способность) сводятся к одному и тому же: способности различать близкие положения сигналов в пространстве наблюдаемых параметров. И хотя в первом случае речь идет о двух возможных положениях данного сигнала,а во втором - о двух сигналах, действующих одновременно, требования к форме сигнала остаются общими.

В общем случае при наличии амплитудной и угловой (фазовой или частотной) модуляции несущей сигнал можно записать в виде:

к (0*7 (0 cos [2 (4.52)

где lf(t) = U (г) е^ - комплексная огибающая, определяющая закон амплитудной и угловой модуляции несущей;/о - частота несущей.

Воспользовавшись комплексным представлением сигналов, запишем двумерную корреляционную функцию в следующем виде:

В(т,ОД = jRe[tf(r)e]x

х Re [О(t - т) ew Л. (4.53)

Преобразуем (4.53), воспользовавшись соотношением

Re a Re Ъ = Re [ab/2 + а£*/2], (4.54)

справедливость которого легко проверить (символом Ь* обозначено комплексное число, сопряженное Ь). Применяя к (4.53) преобразование вида (4.54) и учитывая, что действительная часть интеграла равна интегралу от действительной части подынтегральной функции, получаем:

fi(T,dg = i.Ree~j2*(fo)x Jtf(f)tf(f-x)x

. хе2*ж] + (4.55)

Обычно несущая частота /0 много больше ширины спектра сигнала. Поэтому, пренебрегая изменением крмплексной огибающей С (t) за период экспоненты е;2я°~°, подынтегральную функцию в первом члене правой части (4.55) можно считать симметричной осциллирующей функцией и принять этот интеграл равным нулю. Тогда получим:

В (х, д) = Re е;2)х J (l(t) tt(t- х) х

xerff] = Re[2(T,].

Как и в случае однопараметрической корреляционной функции В (х) для узкополосного сигнала (см. § 2.9), функция t(x, 9$ содержит два сомножителя: первый, не зависящий от формы сигнала, отображает изменение корреляционной функции с высокой частотой, и второй, определяемый формой сигнала, представляющий корреляционную функцию комплексной огибающей. Для характеристики разрешающей способности измерительного канала существен второй из этих множителей. Поэтому в качестве характеристики селективности сигнала можно использовать функцию

у(х,<%) = 0(ъФ1 =

]0(t)jT(t-x)oj2dt , называемую корреляционной функцией модуляции. Нормируя ее, получаем:

Р(х,д) =

¥(0,0)

J &(t)ff(t)dt

(4.56)

Однако для характеристики селективных свойств сигнала более удобно использовать функцию р2(т, ). Функцию р2(т, называют нормированной функцией неопределенности. Поверхность, определяемая функцией р2(х, #ц), получила название поверхности неопределенности, поскольку от ее формы зависит область, в пределах которой сигналы неразличимы при данном уровне шума. Объем, заключенный между этой поверхностью и координатной плоскостью т, называется телом неопределенности (рис. 4.5, а).

Для упрощения графического изображения вместо тела неопределенности можно пользоваться диаграммами неопределенности, представляющими проекции на координатную плоскость т, горизонтальных сечений тела неопределенности на фиксированных уровнях (см. рис. 4.5, б).

Тело неопределенности обладает замечательным свойством инвариантности: при любой форме сигнала полный объем тела неопределенности постоянен и равен единице:

р2= J /р2(т,д)Л^д=1 .

(4.57)

Доказательство этого свойства, известного под названием теоремы неопределенности, мы приводить не будем (его можно найти, например, в [5]). Поскольку Vp2= 1 и рпшх(х, #д) = 1, то сужение пика тела неопределенности возможно только за счет соответствующего распределения остающегося объема на других участках области [х, существования сигнала. Естественно, что любая деформация пика тела неопределенности отражает соответствующее изменение формы сигнала.

Оптимальный сигнал характеризуется:

1) максимальным сжатием основного пика тела неопределенности в направлении измеряемого параметра (х или .), что повышает потенциальную точность и селективность;

Рис 4.5