при I к.

,[/х(/1)п^)]=д Учитывая, что а2шА? = a2J2Af= No/2, получаем:

L /=1 z

Вероятность того, что случайная величина Go с законом распределения (3.27) будет больше £/2, равна:

24--ЮW <з-28)

где

- интеграл вероятности.

Вероятность Рш трансформации единицы в нуль представляет вероятность того, что случайная величина G\ соответствующая левой части (3.25) при передаче сигнала ux(t)9 т.е. при у (0 = и,-(/) + л (О, будет меньше £/2.

Случайная величина G\ может быть представлена в виде:

v т

Gi = X [ i (*) + п (tk)] их (ft) At =

jt=i

= X 2ito) А* +Х п (*) 1 to) А/ = Е + Со, (3.29)

где Go определяется формулой (3.26). Поэтому условие Gx<E/2 эквивалентно условию Go < - £У2, т.е.

Таким образом, вероятности трансформации символов Рю и Poi одинаковы и определяются формулой (3.28). Равенство вероятностей Рю и Poi является прямым следствием критерия идеального наблюдателя, исходящего из равнозначности обеих ошибок.

При достаточно широкой полосе А/ (малом At) сумму в левой части неравенства (3.25) можно заменить интегралом

f у (t) 1(0*44 (330)

5 0 2

по форме записи совпадающим с взаимной корреляционной функцией и имеющим название корреляционного интеграла.

Распознавание символов двоичного кода с пассивным нулем сводится, таким образом, к сравнению корреляционного интеграла с пороговым значением, равным половине энергии сигнала ux(t).

Тот же результат можно было бы получить несколько проще, используя фильтрующие свойства 5-функции [1, 8], в предположении, что полоса пропускания приемника не ограничена и корреляционная функция шума есть 8-функция. Однако мы сознательно отказались от этого допущения, а рассматривали физически реализуемый случай действия белого шума в конечной полосе А/. Допущение р достаточно широкой полосе Af делалось нами лишь для перехода от однократных сумм к интегралам, что не является принципиальным.

В случае передачи обоих символов сигналами их if) и uo(t) с одинаковой энергией Е (двоичный код с активным нулем) критерий (3.24) при т] = 1 принимает вид:

fr 1

\y(t)[ux(t)-uo(t)]dtZQ (3.31)

или

г t г

J У W их (t) dt% J у (t) wo(0 dt. (3.32)

о 0 о

Таким образом, решение принимается в пользу того символа, для которого корреляционный интеграл принимает большее значение.

В этом случае Poi есть вероятность того, что при передаче сигнала wo (t) левая часть (3.31) превысит нуль, а Рю - вероятность того, что при передаче сигнала wi (t) левая часть (3.31) будет меньше нуля.

а\ = пц (G20) = m, j£ fj и (tk) и, (fc) ArJJ =

mm m

= X X to)я ito) ito) = ]Г <*2ш w2,) A/2, /=1 *=1 /=1

так как в силу некоррелированности случайных величин п (г*), к =1,го, представляющих дискретную выборку реализации белого шума с интервалом между отсчетами At = l/2Af (см. § 2.8),

При передаче сигнала щ (t) левая часть (3.31) будет представлять некоторую случайную величину Go равную:

Go = /[но (О + п (01 [щ (0 - ио (01А = - J 2о(0 Л + о о

г г

+ Jи0(г) Mi (О Л + jn (О [и! (О - и0(Г)] А = - Ь£ + G, (3.33)

где

г

* о

G = J[tti -m(dln(r)A.

(3.34)

(3.35)

Величину X назовем коэффициентом различимости символов*\ Если сигналы wi (0 и wo (г) тождественны (символы неразличимы), то X = 0.

При передаче сигнала щ (t) левая часть (3.31) будет представлять случайную величину Gi, равную:

Т т

G\ = J [щ (г) + п (f)] [и, (0 - и0 (01 А = J *Л(0 А -о о

г г

-Jm! (Г) и0(0 А +/л (t) [щ (0 - мо(01 А = А2? + G, (3.36)

о о

Из (3.33) и (3.36) следует, что условия G0>0 и Gi<0 представляющие условия трансформации символов, эквивалентны условиям. G>XE при трансформации 0 в 1 и G < -ХЕ при трансформации 1 в 0.

Из сравнения (3.26) и (3.35) видим, что случайная величина G получается из Go заменой u\(t) на [u\(t)-uo(t)]. Поэтому дисперсия нормальной случайной величины G на основании (3.27) [при переходе от суммы к интегралу] равна

<*V=y f[MO- o ]2A =

о

Г т т

$ и2,(г) А - 2 J и,(Г) ио(0 А + J и20(0 А

= NqEX.

(3.37)

Ф) Часто коэффициентом различимости называют величину

однако предлагаемое обозначение представляется нам более удачным.

Вероятности трансформации символов по аналогии с (3.28) равны

Р01 = Р10 = F [- АЕ/оу] = F (- л/Ш/Vo). (3.38)

Остановимся на геометрическом смысле коэффициента различимости сигналов. Воспользовавшись формулой (1.23), найдем расстояние между

сигналами щ (t) и щ (0 при совмещении интервалов их существования Т:

т

j[Ul(t)-udt)fdt = 2XE. (3.39)

о

Из (3.39) следует, что X является мерой расстояния между сигналами. При Х = 0 правая часть (3.39) обращается в нуль, что соответствует совпадению сигналов (сигналы неразличимы). Максимальное значение X = 2 получается при строго противофазных сигналах u\(t) и ио(0 и соответствует максимальному расстоянию между ними (максимальной различимости).

Из формулы (3.38) видно, что чем больше X (лучше различимость сигналов), тем при том же отношении сигнала к шуму E/N0 меньше вероятность трансформации двоичных символов. При X = 2

/,oi = Pio = F(~/2£Wo), (3.40)

а при X = 0

Poi = Pio = F(0) = l/2,

что соответствует гаданию вслепую .

Имеется простая связь между значением коэффициента различимости X и выбором вида манипуляции несущей для передачи двоичных символов. При различении символов с использованием фазовой манипуляции несущей на л, когда сигналы щ и щ противофазны, Х-2. Вероятность трансформации символов при этом минимальна и определяется формулой (3.38) при X = 2. При частотной манипуляции, когда разность частот много больше величины 1/Ги сигналы u\(t) и мо(г) на интервале Г можно считать ортогональными, коэффициент различимости Х= 1. При этом вероятность трансформации символов

Ро1 = Рю = Р(->ГЩ).

т.е. больше, чем при фазовой манипуляции, но меньше, чем для двоичного кода с пассивным нулем (3.28).

При амплитудной манипуляции О^А, 1 и вероятность трансформации символов в общем случае еще больше. И только в частном случае импульсной амплитудной модуляции при условии, что импульсы, образующие сигналы u\(t) и uo(f), не перекрываются, т.е. при ортогональности этих сигналов, амплитудная и частотная модуляции при равных энергиях сигналов эквивалентны.

Полученным результатам можно дать весьма наглядную геометрическую интерпретацию. Переходя к интегралу, левую часть (3.24) можно

представить в виде

г

\{\у (0 - ио(012 -bit)- и,(/)]2} dt=д2 - #УМ1,

о

где

г

\bit)-uit)?dt

о

в соответствии с (1.20) представляет квадрат расстояния между сигналами у (0 и и/(0 в пространстве сигналов.

Таким образом, логарифм отношения правдоподобия при помехе в виде аддитивного белого шума пропорционален разности квадратов расстояний между входным сигналом у (0 и каждым из передаваемых сигналов щ(г) и ио(0. Критерий же (3.24) означает, что выбирается тот из вариантов обнаруживаемых сигналов, которому соответствует меньшее расстояние до данной реализации сигнала у (0- Этот критерий, исходящий из равноправия обнаруживаемых сигналов, совершенно естествен в условиях, когда оба варианта ошибочных решений одинаково опасны, а сами обнаруживаемые сигналы равновероятны.

Формула (3.38) для вероятностей трансформации символов двоичного цифрового кода с активным нулем с учетом (3.39) может быть записана в виде:

(3.41)

Возвращаясь к формуле (3.28), определяющей вероятность трансформации символов двоичного цифрового кода с пассивным нулем, убеждаемся, что и она может быть представлена в виде (3.41). Действительно, для кода с пассивным нулем, когда ио(0 = 0, расстояние между сигналами Ruhuo = где Е - энергия сигнала ux(t) и, следовательно, аргумент функции F в (3.28) также равен

0.5 Rim. Л

\y(t)ux(t)dt

Рис 3.2

Таким образом, при обнаружении бинарных равновероятных сигналов с использованием критерия идеального наблюдателя распознавание символов сводится к оценке близости отображающего их сигнала к принятой реализации у (0. Мерой помехоустойчивости символов служит половина расстояния между обнаруживаемыми сигналами, что отражает тот факт, что трансформация символов наступает тогда, когда реализация у (0 из-за действия помехи отличается от переданного сигнала более чем на 0,5 Riq.uo и ближайшим к принятой реализации у (0 окажется не переданный, а другой сигнал.

Критерии принятия решений (3.30), (3.32) получены в предположении, что сигналы u\(t) и мо(0 совмещены в пространстве сигналов с полезной составляющей входного сигнала у (0 [это необходимо для выполнения условий у (0 - и (0 = п (0, использовавшегося при выводе этих критериев]. В рассмотренных задачах приема символов двоичного кода выполнение этого условия обеспечивается синхронизацией, задающей начало приема очередного символа.

Решающая схема в данном случае может быть реализована с использованием коррелятора, вычисляющего корреляционные интегралы, входящие в критерии принятия решения (3.30), (3.32), и устройства сравнения (порогового устройства). При использовании двоичного кода с пассивным нулем значение корреляционного интеграла сравнивается с уровнем EI2 (рис.3.2, а), а при использовании кода с активным нулем (рис.3.2, б) сравниваются значения корреляционных интегралов, входящих в (3.32).

Устройство сравнения

3.4. Радиолокационное обнаружение. Критерий Неймана-Пирсона

При радиолокационном обнаружении цели наряду с двумя благоприятными исходами, соответствующими правильно принятым решениям (цель обнаружена или установлен факт ее отсутствия), возможны два неблагоприятных исхода: принята гипотеза наличия цели, тогда как в действительности цели не было (ложная тревога) или принята гипотеза отсутствия цели, тогда как цель была (пропуск цели).

Выбор стоимостей потерь для этих двух ошибочных решений затруднен тем, что последствия ошибок в обоих случаях качественно разные: ложная тревога связана с лишними затратами физической и нервной энергии, а также материальных ресурсов, пропуск же цели - с большим экономическим ущербом. Поэтому определение порогового значения величины г| по формуле (3.16) весьма затруднена. В качестве исходной величины для определения порогового значения ц удобнее задаться допустимым значением вероятности ложной тревоги, что легче для экспертной оценки. В связи с этим в качестве критерия оптимизации режима радиолокационного обнаружения цели обычно используется критерий Неймана- Пирсона, согласно которому принимается гипотеза, соответствующая минимальной вероятности пропуска цели при заданном (экспертная оценка) допустимом значении вероятности ложной тревоги. Для того чтобы воспользоваться этим критерием, установим связь между пороговым значением отношения правдоподобия в формулах (3.17) или (3.18) и вероятностями ложной тревоги Рл и пропуска цели Рп.

ty[H{n-l)At]

Рис. 3.3

Задача радиолокационного обнаружения сигнала известной формы сходна с уже рассмотренной задачей приема цифрового двоичного кода с

Pa = F(-vBop2E/N0),

(3.43)

пассивным нулем: ложная тревога соответствует ошибочному приему символа 1, а пропуск цели - ошибочному приему символа 0. Однако задача радиолокационного обнаружения сигнала существенно отличается тем, что имеет место неопределенность времени задержки обнаруживаемого сигнала, тогда как при приеме символов двоичного кода предполагалось наличие синхронизации. Эту трудность можно преодолеть, если использовать многоканальный корреляционный приемник (рис. 3.3). В каналах этого приемника местные сигналы и (г) сдвинуты по времени на различные величины iAt. Число каналов п выбирается так, чтобы величина nAt перекрывала область неопределенности задержки обнаруживаемого сигнала. Тогда для одного из каналов всегда обеспечивается ошибка синхронизации местного и обнаруживаемого сигналов 5г|М2. Если число каналов выбрать так, чтобы для наиболее благоприятного канала погрешность синхронизации 8т была достаточно малой и не оказывала существенного влияния на условия обнаружения, то для вычисления вероятностей Рл и Рп для этого канала можно использовать формулы для приема символов двоичного кода с пассивным нулем. Только в отличие от (3.30) пороговое значение корреляционного интеграла следует принимать равным не Е/2, а некоторому уровню Gnop выбираемому исходя из допускаемого значения вероятности ложной тревоги. Тогда, учитывая, что в соответствии с (3.26) и (3.29) случайные величины Go и G\ отличаются лишь математическими ожиданиями, равными соответственно 0 и Б, а также учитывая (3.27), для рассматриваемого канала получаем:

- it; Н-

а критерий принятия решения принимает вид:

т н

[yWuifidtGaef. о *

Переходя к относительным величинам, перепишем полученные формулы в виде:

- Jy(0 to*!4op, (3.42)

Po = F[(vn0p-l)V2£Wo], (3.44)

где vnop = Gnop/f.

Произведем количественную оценку влияния погрешности синхронизации от на характеристики обнаружения сигнала в предположении, что сохраняется критерий обнаружения (3.42), оптимальный при идеальной синхронизации. Очевидно, что погрешность синхронизации скажется лишь на случайной величине Gi(8r), определяемой интегралом в левой части (3.42) в случае, когда сигнал и (г) передается. При этом входной сигнал

T\(t) = u(t + bx) + n(t),

и с учетом стационарности шума п (г) можем записать

т

Oi(6t) = j[u(t + от) + п (f + fa)] и (0 А =

о

т т

= и(.* + от)н(/)Л + ln(t)u(t)dt = Ep(&i) + Go, (3.45)

о о

где

1 т

р(дт) = ju(t)u(t + dx)dt, (3.46)

о

а

г

G0= jn(t)u(t)dt о

соответствует (3.26).

При отсутствии сигнала и (0 левая часть (3.42) представляет собой случайную величину Go/£, не зависящую от 5т.

Соответственно для вероятности ложной тревоги Р„ и при наличии погрешности синхронизации остается справедливой формула (3.43). Влияние же погрешности синхронизации на вероятность пропуска цели Р„, как видно из сравнению (3.45) с (3.29), может быть учтено заменой в (3.44) Е на величину £р(6т):

Pa = F [(v op - 1) V2Ep(6Wo ]. (3.47)

Функцию р (5т), совпадающую по своей форме представления с нормированной временной корреляционной функцией, назовем нормированным корреляционным интегралом. При 5т=0 р(5т)=1 и (3.47) переходит в (3.44). С увеличением 5т р(5т) уменьшается (рнс. 3.4) н чувствительность корреляционного приемника к обнаруживаемому сигналу падает.

Для сигнала и (г) заданной формы всегда можно выбрать шаг Дг изменения задержки местного сигнала в многоканальном корреляционном приемнике, обеспечивающий соблюдений условия р(от)~ 1 при и для канала, удовлетворяющего этому условию, пользоваться формулой (3.44).

При анализе работы многоканального обнаружителя сигнала в целом следует учитывать, что решение об обнаружении цели принимается при принятии по критерию (3.42) гипотезы Н\ хотя бы в одном канале. Поскольку ложная тревога имеет место в отсутствие сигнала, то в предположении

некоррелированного действия шума в отдельных каналах рассматриваемого обнаружителя суммарная вероятность ложной тревоги

PnL = пРа = п¥ (- vE/No). (3.48)

Вероятность пропуска цели для обнаружителя в целом, вообще говоря, меньше, чем для канала, обеспечивающего минимальную ошибку синхронизации, так как он в какой-то мере дублируется соседними каналами.

Р(8т) f

Рис 3.4.

Однако при достаточно экономном выборе числа каналов, когда At соизмеримо с интервалом корреляции для принимаемого сигнала и величина р (iAt) достаточно быстро падает с увеличением /, эффект дублирования невелик и в первом приближении можно принимать

PoxFop-ljVEWo. (3.49)

Формула (3.48) позволяет определить VnoP для критерия обнаружения цели (3.42), по заданному допустимому значению Рль а (3.49) - соответствующую вероятность РП£. Из этих формул видно, что с увеличением vnop вероятность РЛ1 убывает, а вероятность Ра% возрастает. Поэтому минимальное значение vnop в критерии обнаружения цели (3.42), обеспечивающее требуемый уровень Рд£ соответствует минимально возможной (при заданной вероятности Pnj) вероятности пропуска цели, т.е. обеспечивает решение, соответствующее условиям критерия Неймана-Пирсона.

Из формул (3.38), (3.49) следует также, что вероятности Рл и Ра при оптимальном обнаружении зависят только от отношения энергии сигнала к спектральной плотности шума E/No и не зависят от формы сигнала.

Вместо многоканальной схемы, представленной на рис. 3.3, можно использовать последовательный поиск с перестройкой единственного канала и повторением посылок обнаруживаемого сигнала с энергией Е через интервалы Г (рис. 3.5). Схема рис. 3.5 может рассматриваться как

многоканальная с временным разделением каналов. Если можно пренебречь изменением задержки сигнала за время пТ, то при одинаковых значениях Т и Е обе схемы эквиваленты и их характеристики определяются по тем же формулам. Упрощение аппаратуры при последовательном описке достигается ценой увеличения в п раз времени обнаружения.

Блок переменной поддержки

Рис 3.5

Если обнаруживаемый сигнал, помимо неопределенности времени задержки, имеет достаточно большую область неопределенности доплеров-ского смещения частоты, то при его корреляционном приеме может потребоваться поиск в пространстве параметров сигнала как по временной задержки, так и по частоте (общее число каналов обнаружителя или время последовательного поиска соответственно возрастают).

Полученные результаты легко обобщаются на случай, когда обнаруживаемый сигнал

имеет вид и (г; ось 0С2..... о*) и содержит случайные несущественные параметры (Х\,(1г.....ос*

не несущие информации, поиск по которым в пространстве сигнала не осуществляется. Многомерная функция распределения этих параметров w*((Xi, сс2.....а*) полагается известной.

Поскольку принимаемое по выбранному критерию решение должно быть наилучшим в среднем, то нужно минимизировать усредненную по всем возможным значениям неизвестных параметров аь ct2.....а* величину среднего риска R. В рассматриваемом случае обнаружения единственного сигнала u\(U ось cti,а*) в формуле (3.11), определяющей величину R при бинарном обнаружении, следует положить uo(t) = 0. Осредняя в формуле (3.11) значение среднего риска R по всем возможным распределениям несущественных параметров обнаруживаемого сигнала, получаем

R = Р0Сю + РСи + J[Pi(C0i - CiOpOb) - Л>(С,о - СЬо) Р (уЫФ ,

где

p(yh)=J J Р [yhfo ось .... Ok)] h>*((Xi.....a*) <ftxi... da*.

Таким образом вес сводится к замене в (3.11) функции р(у\щ) на р(у)и0 т.е. к замене отношения правдоподобия Л(у) на величину

My) = -Ш^г = J. . J Л (у; а,.....<%) w*(a,.....се*) </а ... do*.

(3.50)

В качестве примера рассмотрим задачу обнаружения на фоне аддитивного белого шума узкополосного сигнала и (г, q>o) со случайной начальной фазой. Представим сигнал и (;, <ро) в виде колебания несущей частоты/о с медленно меняющимися амплитудой и фазой и со случайной начальной фазой q>o = U (/) cos [2nfot + ф(г) + фо]. Отношение правдоподобия для фиксированного значения фо найдем, положив в (3.21) щ = и (/, фо) и и0 = 0:

My) = ехр С- J {\у (г) - U (г) cos (2tf0 + <p (0 + фо)]2 - yfy)} = 0 о

= ехр (1 ехр jj-jy (f) (7 (f) cos [2n/of + ф (i) + фо] л|. (3.51)

где

Е= м2(г,фо)Л

- энергия сигнала.

Осредненное значение отношения правдоподобия (3.51) в предположении равновероятного распределения случайной фазы сигнала на интервале [0,2л] равно

2х г т

где

Л(у) = exp- -jQ J ехр A J у (г) у (г) cos [2*/о* + ф (г) + фо] Ж j <Лро. (3.52) реобразуем подынтегральную функцию в (3.52):

expj-А. у(г)С/(Осо8[21г/оГ + ф(г) + фо]л| =

= ехр cos фо - sin фо = ехР [ cos (Фо + Ч>) . (3.53)

г

?i=Jy()£/(г)cos [2ф + ф(г)] dt = ?cos\/; (3.54)

о г

<7о = J У (0 (0 sin [Ivfot + ф (г)] dt = q sin \j/; (3.55)

о

q = Vi+<?V, V = arctg (i). (3.56)

Подставив (3.53) в (3.52), получим:

=еХр(-)1еХРЙ ->] = ехр(-)/0[) . (3.57)

где

2ж 2ж

/о W J ехР (* cos ф) £/ф = - ехр [-j(jx cos ф)] <Лр = J0 (/*) (3.58)

о о

- функция Бесселя J0 (/*) от мнимого аргумента jx [2, 34].

Критерий оптимального обнаружения (3.17) для отношения правдоподобия (3.57) принимает вид

(3.59)

Решая неравенство (3.59) относительно величины q с учетом монотонно возрастающего характера функции I<£lqlNu) для положительных значений аргумента [34], получаем

2 g CN0 п 4 % -

(3.60)

где С - решение трансцендентного уравнения /о (С) = т) ехр (fiWo)- Условие (3.60) можно переписать в виде

jy (О U (0 cos [tor + ф (/)] drj +1 J;

y(f) 7(i*)sin [шг+ф(г)]

Интегралы в левой части (3.61) имеют вид корреляционных интегралов и отличаются только сдвигом на я/2 начальной фазы высокочастотного заполнения используемых в них опорных сигналов.

Устройство сравнения

sinax

Рис 3.6

В частном случае, когда обнаруживаемый сигнал представляет смодулированную посылку длительностью Т (прямоугольный импульс) со случайной фазой высокочастотного сигнала

и {U фэ) = о сое (?ф + фэ),

условие (3.61) принимает вид:

t j + j J [у W о (0 sin 7ф] *p

KO o(Ocos2 /o/]£/rl + l J [yWMo(r)sin2ji/o/]}- t i. (3.62)

Интегралы в левой части (3.62) определяют так называемые квадратурные составляющие сигнала. Оптимальное обнаружение смодулированной посылки длительностью Т со случайной фазой высокочастотного сигнала реализуется схемой квадратурного приема, изображенной на рис. 3.6.

3.5. Многоальтернативные задачи обнаружения

До сих пор мы рассматривали бинарные задачи обнаружения, соответствующие случаям, когда требуется принять одну из двух возможных гипотез о переданном сигнале (сигнал передавался или сигнал не передавался: передавался сигнал щ или передавался сигнал ио). Рассмотрим теперь многоальтернативную задачу обнаружения*, когда может передаваться один из к заданных сигналов (в их числе может быть и нулевой сигнал), применительно к случаю, когда все ошибки обнаружения равноценны и требуется найти решение, дающее в среднем наименьшую вероятность ошибки (критерий идеального наблюдателя).

Перепишем применительно к этому случаю условие выбора решения (3.14) для бинарной задачи в виде:

ИЛИ

P\p(y\ui) IpqpOK)-

Здесь Р0 и Pi - априорные вероятности передачи сигналов щ и щ соответственно. Деля обе части этого неравенства на плотность вероятности р (у) данной реализации входного сигнала, в соответствии с (2.9) получаем условие выбора решения в виде:

Р(Я1у)р(Я0у), (3.63)

где P(Hi\y) = Pp(y\ui)/p(y) - апостериорная вероятность гипотезы Я, после получения данной реализации входного сигнала у (t). Условие выбора (3.63) означает, таким образом, что выбирается гипотеза соответствующая максимальной апостериорной вероятности. Это условие выбора при использовании критерия идеального наблюдателя может быть распространено и на многоальтернативную задачу.

Таким образом, принятие решения по критерию идеальнбго наблюдателя для многоальтернативной задачи обнаружения сводится к определению апостериорных вероятностей Р(Я,Ь) или пропорциональных им величин P-piy\ui) для каждой из гипотез Я, и выбору той, для которой их значение максимально.

Рассмотрим конкретно случай приема сигналов с полностью известными параметрами на фоне белого шума. Для представления плотностей

* Часто задачу, когда нужно принять одну из нескольких возможных гипотез о переданном сигнале, называют задачей различения сигналов [2].

вероятности р (y\ui) воспользуемся записью (3.20) плотности вероятности m-мерной выборки случайной функции у (t) с шириной спектра Д/:

Отбрасывая множитель 1/(2пв2т)тП9 не зависящий от выбора гипотезы Я, и не влияющий на определение максимальной из величин Рр (у\щ), и заменяя сумму интегралом, как это делалось при выводе формулы (3.23), получаем

{г -7Г \ b(f)-Ui(t)?dt\, No i J

и правило решения сводится к выбору гипотезы Я, для которой при данной реализации входного сигнала у (г) эта величина имеет максимальное значение. Заметим, что в показателе экспоненты стоит квадрат расстояния между сигналом щ(г) и выходным сигналом, и второй сомножитель будет тем больше, чем меньше расстояние между этими сигналами.

3.6. Минимаксный критерий обнаружения сигналов

Рассмотрим случай, когда показатели потерь Q заданы, но неизвестны априорные вероятности обнаруживаемых сигналов Pi и Ро (рассмотрение будем вести применительно к бинарной задаче обнаружения).

Запишем критерий обнаружения Байеса (3.14) в виде

т%{1-р?г{Сп: ~*ю. (3.64)

я0 Pi(Coi - Си) Средний риск (3.11) можно записать в виде

R = РоСю + PiG 1 + Pi(C0i - Сц) jp (у\щ) dy - Ро(Сю - Coo) x

x[l - JP (УЫ dy\= PiCn + (1 - Pi) Coo + Л(С01 - Сц) Pu +

+ (l-Pi)(Cl0-Cbo)ft, (3.65)

так как

\p(y\ux)dy = Pa, \р(уЫ<1у = Рл.

0 Р] 1 Р, О 1 Pi О I Pi

а) 6) в)

Рис 3.7

Зафиксируем значение порога х\= ц (Р*0 соответствующее априорной вероятности P*i, для которой Poirr(P*i) имеет максимальное значение. Если использовать это значение порога в критерии обнаружения (3.64), независимо от фактических значений априорной вероятности Рь то вероятности Рп и Рд, зависящие только от выбора порога, будут,постоянными для всех значений Pi и соответствующие значения среднего риска R*(P\) согласно (3.65) будут линейно зависеть от Pi. При Pi =P*i когда порог ц соответствует оптимальным условиям обнаружения, R*(P*\) = Ponr(P*i); при всех других значения Pi должно удовлетворяться условие P0nr(Pi) <R*(P\), поскольку Rom(Pi) - минимальный средний риск по смыслу критерия (3.64). Этим условиям удовлетворяет выпуклая кривая Rom(Pi), касающаяся прямой R*(Pi) в точке максимума. Если максимум P0nx(Pi) лежит внутри интервала [0,1] возможных значений Pi, то R*(P{) - горизонтальная прямая и средний риск при фиксированном пороге т|* = т| (P*i) будет постоянным для любых значений априорной вероятности Pi появления сигнала u\(t) (рис. 3.7, а). Если же экстремальное значение Rom(P\) достигается на краях интервала при Pi = 0 или Pi = 1 то R*(P{) может быть наклонной прямой с максимальным значением на соответствующем краю (рис. 3.7, б и в).

Таким образом, выбирая порог решающей схемы г|*, оптимальный для наиболее неблагоприятного значения Pi мы минимизируем максимальное значение риска на интервале возможных значений априорных вероятностей OPil. Поэтому данный критерий принятия решения в условиях отсутствия данных об априорной вероятности Pi получил название минимаксного. При Р\ФР \ данный выбор фиксированного порога решающей схемы, естественно, не обеспечивает минимально возможного значения

Для каждого значения Р\ можно рассчитать соответствующее значение порога ц (Pi) в критерии (3.64) и определить значения Рп гг и РЛОпт соответствующие условиям оптимального обнаружения по этому критерию. Подставляя Pn0irr и РЛ01гг в (3.65), получаем функцию Rom(Pi), определяющую средний риск при оптимальном обнаружении в зависимости от априорных вероятностей обнаруживаемых бинарных сигналов (рис. 3.7).

среднего риска, однако при этом средний риск не будет превосходить минимально возможного его значения для наиболее неблагоприятного значения априорной вероятности РY В данном случае мы минимизируем не среднюю по всему диапазону возможных значений Pi величину Л, а максимальную его величину на этом диапазоне. Используя минимаксный критерий, мы получаем гарантию, что при любом значении Pi не опустимся ниже уровня достоверноста обнаружения, предельно достижимого для самых неблагоприятных сочетаний априорных вероятностей появления обнаруживаемых сигналов.

Найдем минимаксное решение задачи обнаружения сигнала и (г) на фоне аддитивного белого шума в предположении равноценности обеих видов ошибок (критерий идеального наблюдателя). Полагая Сю = Cbi = C, Сц = СЬо = 0, получаем из (3.64) и (3.65)

Ti(P1) = (l-P1yP1, (3.66)

R (Pi) = С [Р,РП + (1 - Р,)РЛ]. (3.67)

Подставляя в (3.23) значения и&) = и(/), мо(/)=Ю и г\=(1-Р\)/Ри получаем:

о

Приведем критерий обнаружения (3.68) к виду

о

Вводя нормированное значение порога

-[~2 Jy(r) (0-£Jln -Li . (3.68)

L 0 J

жжения (3.68) к виду

- 1 x N In

в (3.43) и (3.44), получаем:

Используя (3.70) и (3.71), (3.67) можем записать в виде

67) можем записать в виде:

Можно показать, что в данном случае максимум R (Р\) соответствует условию равновероятных сигналов И|(0 = и (0. т.е. минимаксный критерий приводит к задаче, рассматривавшейся

в § 3.3. Вероятности ложной тревоги и пропуска сигналов для этих условий в соответствии с (3.28) равны: Рд = Рп - (~ vE/lNo), а средний риск постоянен для всех значений Pi:

R\Pi) = С [PiF (- <ШШ<>) + (1 - Р,) F (- <ШЩ)} = CF (- у[ШЩ). (3.73)

3.7. Особенности задачи селекции сигналов

До сих пор мы рассматривали обнаружение сигналов в условиях, когда они не налагаются друг на друга и их искажения обусловливаются только действием шума. Задача селекции сигналов возникает в случае, когда обнаруживаемые сигналы могут налагаться друг на друга. В этом случае входной сигнал г) (г) может быть представлен в виде:

Л (I) = А,и,(0 + А2 2 + п (t). (3.74)

где коэффициенты Ai и Аг могут принимать дискретные случайные значения 1 (с вероятностями Р\ и Р2) или 0 (с вероятностями 1 - Pi и 1 - Р2).

Особенность задачи селекции сигналов состоит в том, что помехой при обнаружении каждого из сигналов, ломимо шума, может служить и налагающийся на него другой сигнал. Рассмотрим для определенности обнаружение сигнала u\(t). Решение о наличии сигнала u\{t) {А\ = 1) или его отсутствии (А\ = 0) должно приниматься в результате сравнения с некоторым пороговым уровнем Г) отношения правдоподобия Л(у), которое в данном случае принимает вид:

Л(у) =

(3.75)

где w (y\A\ = 1) - плотность вероятности получения реализации у (г) при наличии сигнала u\(t) безотносительно к наличию или к отсутствию сигнала w2(f); w (y\Ai = 0) - плотность вероятности реализации у (г) при отсутствии сигнала ui(t) безотносительно к наличию или к отсутствию сигнала и2(г); w (yAi = 1; А2 = 1) - плотность вероятности реализации у (/) при наличии сигнала щ и условии, что присутствует и сигнал и2(Г); w (у\А\ = 1; А2 = 0) - плотность вероятности реализации у (t) при наличии сигнала u\(t) а условии, что сигнал u2(f) отсутствует; w (у\А\ = 0; А2 = 1) - плотность вероятности реализации у (/) при отсутствии сигнала u\(t) и наличии м2(/); и> (у\А\ = 0; А2 = 0) - плотность вероятности получения реализации у (0 при действии одного шума.

Выражая плотности вероятности, входящие в (3.75), через плотности вероятности соответствующих реализации шума, получаем критерий для принятия решения о наличии или отсутствии сигнала u\(t) в виде:

P2Wm(y - щ - и2) + (1 - Pi) wa(y - щ) А£1 п ?6

P2wm(y - и2) + (1 - Р2) пш(у) а?-о

где г\ - пороговое значение отношения правдоподобия, определяемое формулой (3.16).

Л(у) =

ft ехр {- [у (/) - и,(/) - и2(*)]2 л| + ft ехр [у (/) - и2( )]2 Л }+

(1 - ft) exp{~j J [у (0 - iWl2 + (1-ft)ехр j-i /Л')*}

exp-jJ-[y(0- i ]Jdf =-1 °°-1- x

expj-jVw}

P2 exp j- [~ 2у (>M2(r) A + 2£ul- + E2J} + (1 ~ Pl) P2 exp j - -L [L 2 J у (0 u2{i) dt + £2J + (1 - P2)

где

- энергия сигнала u2(t)\

E2= \u\(t)dt

ii,u2= \m(t)u2{t)dt

(3.77)

- взаимная корреляция сигналов u\{t) и u2{t).

Первая дробь в правой части (3.77) есть отношение правдоподобия для случая обнаружения сигнала щ(0 в отсутствие других сигналов, а вторая характеризует влияние сигнала u2(t) на условия обнаружения сигнала u\(t). Нетрудно видеть, что в случае £1 = 0, т.е. при ортогональности сигналов u\(t) и u2(t) на интервале [0, 7], вторая дробь в правой части (3.77) равна 1 и отношение правдоподобия Л(у) отвечает условиям обнаружения сигнала u\(t) на фоне белого шума. Полагая, что сигнал u\(t) вне области [0, 7] не существует, можем записать

т

J i(0 u2(t) dt = Jmi(0 u2{t) dt.

Рассмотрим частный случай, когда u\(t) и u2(t) представляют результат отражения одного и того же радиолокационного сигнала от разных объектов и отличаются лишь временной задержкой т и доплеровским смещением частоты 9.

ы,(0 = и(*,0,0), М2(/) = и(*,т,д).

В этом случае взаимное влияние сигналов на условия обнаружения каждого из них, т.е.условия разрешения радиолокационных объектов, определяются двумерной корреляционной функцией

£(i,F)= и(лО,0)и(г,т,ЗДЖ. (3.78)

Чем острее пик корреляционной функции (3.78), тем при меньшем различии отраженных сигналов по временной задержке или доплеровскому смещению частоты будет ослабляться их взаимное влияние на условия обнаружения и соответственно будет обеспечиваться лучшее разрешение радиолокационных объектов.

В случае белого шума левая часть (3.76), представляющая собой отношение правдоподобия Л(у), принимает вид