а обратное преобразование (3.28а)

1 = f/i - 2 Уу. Ч = Ук k = 2, п. (3.31а)

Без ограничения общности полагаем Ci = l. Так как

дУк dyj dyj

то якобиан преобразования /=1[см. (3.286)].

В соответствии с (3.30) находим плотность вероятности ли-

п

еейной комбинации г\== 2л^а случайных величин gi,

Wr,{yi)= f wjyi-cjy y,....yn]dy...dy. (3.32)

Если случайные величины gi, En независимы, то из (3.32) следует

(J/i) = i (f/i 2 > {У2) - (f/n) dy... dy.

В простейшем случае алгебраической суммы двух случайных величин Ti = i±ig2 из (3.32) получим

л<У)= ]w.lAy4u. u)du. (3.33) -00

Если i и 2 независимы, то

lJt,(f/)= [ш|.(г/ч=и)а;Л ) . (3.33а)

Интеграл в правой части (3.33а) называется сверткой функции {х) и wi\(x). Из (3.33а) нетрудно определить функцию распределения алгебраической суммы двух независимых случайных величин

(f/)= ]Р^ЛУ±и)щМЛи. (З.ЗЗб)

ЗЛ.15. Плотность вероятности произведения и частного случайных величин. Пусть i=(Ei, 1) - совокупность случайных величин и wn{xi)-плотность совместного распределения этой

совокупности. Найдем плотность вероятности случайной величины

п

fl=nft. (3.34)

Совершим над исходной совокупностью функциональное преобразование

Уг = / (1..... п) = П 7- Ук=Чу k = 2Гп[ (3.35а>

п

1 = ф(г/1..... /n) = /i / Uyh ft= /ft. /г = 2, п.

/ ;=2

В соответствии с (3.286) якобиан преобразования

= (3.356)

Используя (3.30), находим искомую плотность вероятности

I Wn{Jyvy2y yn)W\dy2-dy (3.36)

Если случайные величины i, п независимы, то из (3.36) следует

Wr, (Уг) = j rci, {Jy,) w, Ы... tg, {Уп) W\ dy,... dyn. (3.36a)

в простейшем случае произведения двух случайных величин T] = i2 из (3.36) получим

{у) = (т' ) 1 -

а если i и I2 независимы, то

n(y)= (-)ag.( )d / . (3.37а)

Аналогично для частного r\ = h/l2 имеем

л(У)= ]щ.1Лиу. u)\u\du (3.38)

и для независимых i и 2

ч(/)= УшДиу)а;Д )ыИы. (3.38а)

3.2. распределение вероятностей модуля и фазы случайного вектора

3.2.1. Плотность вероятности модуля и фазы случайного вектора на плоскости. Рассмотрим специальный вид преобразования двух случайных величин, представляющих значительный интерес для приложений,

P=/F+?, 9 = arctg/i. (3.39)

Это преобразование взаимно однозначное, причем р>0, а возможные значения случайной величины ф заключены в пределах от О до 2я (имеется в виду главное значение арктангенса). Геометрически преобразование (3.39) означает переход от случайных декартовых координат (g, т]) точки к ее случайным полярным координатам: модулю р и фазе ф случайного вектора, начало которого находится в начале координат, а конец совпадает с точкой (I, ц). Преобразование, обратное (3.39), имеет вид

=рС08ф, Г1=р81Пф. (3.40)

Пусть задана двумерная функция распределения случайных декартовых координат (х, у) и надо найти совместную функ-

цию распределения полярных координат Wpfp{r, #). Так как якобиан преобразования л: = гсо8&, r/ = rsin& от переменных х, у к переменным г, # равен

а (г, ь)

cos -ft - г sin sin г cos О

то, используя (3.26) для взаимно однозначного преобразования двух случайных величин, получаем

Wp{r, *) = ra5r,(rcos*, rsin*), г>0, 0<*<2я. (3.41)

Если I и Г] независимы, то

pф( *) = гш5(гсо8*)Шг,(г81п*), г>0, 0<*<2я. (3.41а)

Из (3.41) находим плотность вероятности модуля и фазы <лучайного вектора

DFp;(r) = г J йУг, {г cos г sin #) d г > О, (3.42)

(*) = (г cos г sin b)dr, О < О < 2я. (3.43)

о

3.2.2. Плотность совместного распределения полярных координат случайных точек на плоскости. Формулу (3.41) можно обобщить па п случайных точек, декартовы координаты .которых зависимы и характеризуются 2л-мерной плотностью распределения wir (xi, r/i, Х2, У2у Хп, Уп). Переход к модулям и фазам векторов совершается с помощью преобразования

Xi = riCos&u yi = rism&i, i=l, п. (3.44)

Якобиан преобразования (3.44), как нетрудно показать, равен

j ..... f, =йгн, r,>0. (3.45)

Тогда в соответствии с (3.26) переход от 2Аг-мерной плотности распределения случайных декартовых координат п точек к 2/г-

мерной плотности распределения модулей и фаз векторов описывается формулой

X c(ygT,(/iCOS i, TiSinOi..., r cos , rsinflJ,

/>0, 0<*<2я, i=T7~n. (3.46)

Интегрируя (3.46) по переменным г или Oi, получают л-мер-яые плотности распределения модулей или фаз случайных векторов:

2я 2Я

й^р (1,..., Гп) = Г1... j ... j a;gr, (/-1 cos .... r sin * ) d*i... d

г^>0, 1, n, (3.47)

0< 1<2я, t= 1, n. (3.48)

3.2.3. Распределение модуля вектора с независимыми гаус-совскими компонентами. С помощью полученных формул найдем плотность вероятности модуля случайного вектора, компоненты которого независимы и распределены нормально с параметрами (а, а) и (6, а) соответственно.

Лз (3.41а) следует, что плотность совместного распределения: модуля и фазы вектора в рассматриваемом случае

1 Р { ~ 1 - а) + (г sin О - 6)]}; (3.49)

Тогда в соответствии с (3.42) после элементарных преобразований получаем

xfexp[a !pLcos(0-*.)dO, г>0.

где = arctg (6/а) - фаза вектора средних значений.

Заменяя и=&-&о и обозначая модуль вектора средних значений а=У а2 + 62, приводим интеграл к функции Бесселя нулевого порядка от мнимого аргумента

т

= 1о

г>0.

Таким образом, плотность вероятности модуля вектора

ехр

---(г^ + а?)

I аг \

(3.50)

Частным случаем (3.50) при а=Ь = 0 является плотность распределения Рэлея :

pW = -ir-p(-l). г>0. (3.51)

Поэтому функция (3.50) (рис. 3.6) (Может называться плотностью обобщенного распределения Рэлея Ч

Если ai/ia< 1, то, ограпичиваясь первыми двумя членами разложения функции Беоселя в степенной ряд, получаем из (3.50)

, г>0.

(3.52)

Если а/а>1, то в (3.50) функцию Бесселя можно заменить ее аоимптотичесвим разложением

и тогда

ваг

ехр

{r-af

, г>0. (3.52а)

Б этом случае кривая плотностти вблизи моды хорошо аппроксимируется кривой плотности нормального распределения (см. 5 на рис. 3.6) с параметрами (а, а).

Рис. 3.6. Плотность обобщенного распределения Рэлея

* Ее называют также плотностью распределения Рэлея - Раиса,

функция распределения модуля вектора с независимыми га-уссовскими компонентами (с одинаковыми дисперсиями о^)

fAr)Jpexp{--[z + [-J]}l,[)dz, г>0 (3.53)

в элементарных функциях не выражается. Имеются подробные таблицы этой функции распределения \4],

3.2.4. Моменты случайной величины, распределенной по обобщенному закону Рэлея. Из (3.50) находим

(3.54)

где - гипергеометричеокая функция (ш. Приложение 5 в Среднее значение, второй и третий начальные моменты равны mi = о/2 Г(3/2)Л(-1/2. 1. -а.{2о^) =

(3.54а)

т2 = 2а' + а\ (3.546)

, / 2а , а* \, / а \П„ / а \

(3.54в)

Если а^а, то, используя приведенное выше аспимптотическое разложение бесселевой функции, находим

(3.55а) (3.556)

3.2.5. Плотность вероятности фазы вектора с независимыми гауссовскими компонентами. Определим плотность вероятности фазы вектора с независимыми гауссовскими компонентами. В соответствии с общей формулой (3.43) плотность вероятности фазы в рассматриваемом случае [см. также (3.49)]

IF, () = ехр ( - ) J г ехр { - [г^-2а г cos ( - )]} dr.

2яа 0<<2я.

(3.56)

Pwc. 3.7. Плотность распределения фазы

Путем дополнения экспоненты в подынтегральной функции до полного квадрата и замены переменной интегрирования

2=([,г-acos(u- о)]/а,

где а и в'о - величины, введенные в п. 3.2.3, и использования обозначения интеграла Ла- пласа [см. (2.68)], находим плотность веро-ятности фазы

1 . / а2 \ . 1

f-cos X

2а2 1 аУ2п

COS (О-до)

ехр

(3.57)

На рис. 3.7 построено семейство кривых распределения фазы при нескольких значениях отношения а/а. Как (ВИДно из (3.57) и из рис. 3.7, функция Wq>(&-Qo) четная. При а = 0, &о = 0

11Ф (1 ) = 1/(2я), 1*1 я, (3.57а)

что соответствует равномерному распределению фазы.

Если а/а<1, то, разлагая правую часть в (3.57) в степенной ряд по ojjo и пренебрегая членами второго порядка малости, получаем

а

2оУ2я

COS(d-*o). *-*о1< .

(3.58)

Таким образом, с точностью до малых шрядка аЧо^ плотность распределения фазы вектора представляет собой косинусоиду, смещенную вдоль оси ординат на 1/(2я).

Если (a/a)cos(ft-&o)>3, тоиз (3.57) находим

cos(d-d )exp

Вблизи моды кривой плотности ( в'? в'о)

sinM-o)

ajV2n

ехр

(3.59) (3.60)

т. е. распределение фазы нормальное со средним ©о и дисперсией (а/а).

Функция распределения (&) фазы вектора, компоневты которого - независимые гауссовские случайные величины с одинаковыми дисперсиями, выражается через табулированную функцию Никольсона (см. Приложение 9 в [5]). 60

3.2.6. Центральные моменты распределения фазы. Определим центральные .моменты фазы

f*. {ф} =Т( - оГ (*) (3.61)

Ясно, что в силу симметрии распределения все моменты нечетного порядка равны нулю.

Для вычисления интеграла в правой части (3.61) разложим функцию И^ф {&) [см. (3.66)] на интервале (б'о-я, -в-о+я) в ряд Фурье. Для этого достаточно 1воопользоваться известным из теории бесселевых функций равенством

ехр(Хсо8А:) = 1о(Я) + 2 2 ImW cos тх

для разложения на указанном интервале подынтегральной функции в (3.56) и интегральным предстаБлением гипергеометрической функции. В результате

ir,(*) = f а„ cos п(-%), (3.62)

/1=1

где

где (л:, у, z) - гипергеометрическая функция. Подставляя (3.62) в (3.61), получаем

112г= -Т + 2 I cos nxdx. (3.64)

Дисперсия фазы

tt, = 4- + 4n 2 (-1) . (3.65)

Если а/(т<1, то [Хгя/З-4яа1=я2/3- /2яа/;а, а при а/(т>1, как уже указывалось, ii2G/a.

3.3. характеристическая функция

3.3.1. Определение характеристической функции. Характеристической функцией Si (v) случайной величины называется среднее значение случайной величины ехр(ш|), где v - действительная переменная. В соответствии с (3.14) характеристическая функция случайной величины g

(р) = mi { ехр (i VI)} (х) ехр (i и х) dx =

00 оо

= j Wlix) COS vxdx + i J wi{x) sin vxdx. (3.66)

eo CO

Воспользовавшись представлением (2.17) плотносш вероятности (х) в виде суммы дельта-функций, можно распространить формулу (3.66) па дискретные случайные величины

2 Pk ехр {ivxk). (3.66а)

Интеграл (3.66) и соответственно сумма (3.66а) сходятся при любых действительных значениях переменной v, так как 1®£ Поэтому характеристическая функция определена

для каждой случайной величины.

Заметим, что для симметричного распределения, когда wi (х) = = 5 {-х), мнимая часть в (3.66) равна пулю, и, следовательно, характеристическая функция является действительной четной функцией @1 (v) {-v). Наоборот, если характеристическая функция принимает только действительные значения, то она четна и соответствующее ей распределение симметрично.

Из (3.66) следует, что характеристическая функция Si{v) я плотность вероятности wi (х) являются парой преобразований Фурье. Поэтому плотность вероятности случайной величины можно пайти обратным преобразованием Фурье ее характеристической функции

Ш| (л:) = - ? в| {v) ехр (- ivx) dv. (3.67)

Если ®i {v) - характеристическая функция случайной величины то для случайной величины г], получаемой линейным преобразованием Г1 = а| + &, характеристическая функция

0 {р) = {ехр [it; {al + b)]} = 9 {av) ехр {xvb). (3.68)

3.3.2. Вычисление моментов и кумулянтов распределения. Одним из полезных применений характеристической функции является упрощение вычислений моментов распределения. Если существуют -й начальный момент распределения случайной величины g, то характеристическая функция этой величины имеет производную -го порядка, причем

-М^ xwiix) ехр {\vx)dx.

откуда следует

(3.69)

Из (3.69) при =1 находим среднее значение случайной величины \

mi{g}= -16(0). (3.69а)

Если существуют моменты любого порядка, то, как следует

из (3.69), характеристическую функцию можно представить рядом Маклорена

-iSv)K (3.70)

Центральные моменты распределения связаны простыми соотношениями с производными от логарифма характеристической функции г|)£ (г^) =1п© (и), называемого кумулянтной функцией.

Разлагая кумулянтную функцию в ряд Маклорена (в предположении, что этот ряд сходится), получаем

% (и) = In 6 (и) =2 -М'- (3.71)

где

(3.71а)

v=0.

Коэффициенты ряда (3.71), называемые кумулянтами илп семиинвариантами распределения, выражаются через центральные моменты xi = mi, X2=X2, хз = (гз, >C4=i4-3fi2, ... (см. [6]).

Из (3.71) следует

Используя (3.67), получим [31]

(i,)* е, (.) ехр ( - ivx) dv = . (3.72)

Следствием формулы (3.72) является соотношение

i ()> = Цг * П - 3.73)

к 1 i dx

из которого интегрированием по частям находим Ч

и далее

, тЛК\)\-г\Г\Ащ{А&х. (3.73а)

а ... ...... -.(nife)

(ах,)~ 7 1

где

P>W = -/().

3.3.3. Характеристическая функция гауссовской случайной величины. В соответствии с (3.66) характеристическая функция