При помощи этих функций из исходной совокупности случайных величин получают т случайных величин

Л^=а^), k=l7m. (3.2)

Необходимо определить плотность вероятности Wmiyi) случайных величин Ц^1= (Г]1, Цт).

Заметим, прежде всего, что решение сформулированной задачи при тфп всегда получается из решения симметричной задачи при т = п. Если J72<M, то совокупность (3.2) дополняется случайными величинами rj==gj, / = т+1, п; решается задача при равном числе исходных и преобразованных случайных величин, а

искомая плотность W т (y*i) находится интегрированием

W (yi) по переменным уш-и Уп- Если т>п, то случайные

величины г]п+ь Цт связаны функциональными зависимостями с 1)1, т. е. r\j=Q>i(r(i), j=n+ty /п. Тогда искомая плотность

(У7) = я? (У?) Гп [У + - (У?) ]. (З.з>

3.1.2. Монотонное преобразование одной случайной величины.

Рассмотрим сначала простейшую задачу, сформулированную в п. 3.1.1. Задана плотность вероятности wi (х) случайной величины I и необходимо определить плотность вероятности Wx(y) случайной величины Г] =/(£). Предположим, что функция f{x) дифференцируема и преобразование y = f(x) монотонное, т. е. существует единственная обратная функция х^(р{у).

Если dyldx>Q, и следовательно, d(p{y)\fdy>Q, то события г\у и х=цу{у) эквивалентны. Поэтому

Р{Л<У}= ((/)=/5[ф(У)]=Р{?ф(У)}, откуда следует

у Ф (i/)

Дифференцируя обе части последнего равенства по у, получаем

W{y) = Wi[ff{y)]- (3.4а>

Аналогично при dy/dx<:0, т. е. при d(p(y)/dy<Oy из эквивалентности событий г]г/ и 1>х = ср{у) следует (у) = 1-[ф(у)] и

Й^.Ы=- [ФШ]. [(3.46)

Объединяя равенства (3.4а и б), получаем

f,(f/) = oi;g[9((/)]

.Ф {у)

(3.5)

Рис. 3.1. Преобразование плотности вероятности при монотонном преобразовании случай toft величины

X Х'гАХ

Полезно привести наглядную геометрическую интерпретацию вывода формулы (3.5) (рис. 3.1). Так как преобразование y = f(x) монотонное, то события A:x<.ix+Ax и В: y<Cr\:y-i-Ay эквивалентны. Вероятность события А равна площади S, а вероятность события В - площади Sy. При достаточно малых Ах и Ау Sxwi (х)Ах, SyW (у)Ауу Sx=Sy. Переходя к пределу при Ах->0, Ау->0, получаем

W{y)=w[q>{y)]\im - = wMy)] Ay->o Ay ay

Ho при <0 правая часть последнего равенства становится

отрицательной, что невозможно, поскольку функция плотности положительна. Поэтому для общего случая .М. о следует брать

модуль производной, как в формуле (3.5). Появление модуля производной при указанном выводе формулы (3.5) не будет казаться подгонкой , если придать интервалам Ах и Ау знак (направление). В дальнейшем при обобщении формулы (3.5) будет использован геометрический подход.

Заметим также, что совместная плотность вероятности случайных величин I и r]=/(g) [см. (3.3)]

О^ у) = Щ W {У\) Щ W S [у - / {х)]у откуда следует

W{y)= ]w{x)8ly-f{x)]dx ]wi[q>(z)]b{y-z)q>{z)dz.

-оо -оо

Используя фильтрующее свойство дельта-функции, приходим к формуле (3.5).

3.1.3. Линейное преобразование случайной величины. При линейном преобразовании у = ах-\-Ь обратное преобразование

= ф(У) = {У-Ь)/а, d(p{y)ldy= 1/а,

и в соответствии с (3.5)

WM = щ[i). (3.6)

Из (3.6) следует, что при линейном преобразовании плотность вероятности исходной случайной величины смещается на значе-

ние b (вправо или влево в зависимости от знака Ь) сжимается или растягивается вдоль оси х ъ а раз (возможно, с зеркальным отображением относительно оси ординат, если а<<0) и сжимается или растягивается вдоль оси у ъ \а\ раз.

Например, при линейном преобразовании стандартной гаур совской случайной величины (а| =0, ai=\) получаем гауссой-скую случайную величину, плотность вероятности которой Согласно (3.6) (рис. 3.2)

ехр

2fl2

(3.7)

\а\-]/2п^

причем =&, о^х\ =cl-

3.1.4. Немонотонное преобразование одной случайной величины. Предположим теперь, что преобразование y = f{x) немонотонное. В этом сгтучае данному значению у соответствует несколько (возможно, счетное число, если f{x)-периодическая) значений аргумента х, т. е. обратная функция имеет несколько ветвей. Обозначим их через Xk = q)k{y), А:=1, 2, .... Тогда событие В : у<.ц^у-\-\у эквивалентно объединению несовместимых событий Ak \ Xk<.lXk-rXk, fe=l, 2, ... и, следовательно,

Р{В}ЕР{Л}. (3.8а)

При достаточно малых AXky Ay

P{Au}wiiXj,)Ax. P{B}W(y)y. (3.86)

Подставляя (3.86) в (3.8а) и переходя к пределу при Ах-О, Ау-0, получаем с учетом замечания о модуле производной

d(pk (у) dy

3.1.5. Квадратичное преобразование случайной величины.

При квадратичном преобразовании у= каждому значению х/>0 соответствуют два значения xi=Yy и Х2 = - Уу. Тогда в (3.9) сумма содержит два слагаемых. Так как dxi/dy = \dx2/dy\ = lf{2Yу), то получаем следующее выражение плотности вероятности квадрата случайной величины г\ = 1:

Wr,{y) = [w{Vy) + wi{~Vy)l У>0. (3.10)

л(У)= Е Щ1ч>и{У)]

(3.9)

Ox Ox OJ) у

Рис. 3.2. Линейное преобразование гауссовской случайной величины

Во всем дальнейшем изложении для краткости не записывается область нулевых значений плотности вероятности (как это сделано в (ЗЛО) при у<0). Поэтому если приводится функция лотности распределения с указанием ограничений ее аргументу, то это означает, что в области, где ограничения не выполняются, эта функция тождественно равна кулю.

1з (3.10) следует, например, что плотность вероятности ква-дра'а гауссовской случайной величины с параметрами (а, а^)

При а = 0, 0=1, т. е. для плотности вероятности квадрата стандартной гауссовской величины из (3.11) находим (рис. 3.3)

(-i!r).> -

(3.12)

Рис. 3.3. иллюстрирует тот факт, что при нелинейном преобразовании случайной величины кривая плотности вероятности подвергается суптественной деформации, которую заранее, вообще говоря, даже трудно предвидеть.

3.1.6. Специальный случай. В приложениях встречается функциональное преобразование следующего вида:

f{x) = y =

о, Xj <x<:xy

1/2 W xx7~

при этом обратная функция х = ц){у) вообще не существует, так как континууму значений х на интервале {хи Х2) соответствует одно значение у = 0. Однако, вводя дельта-функцию, можно распространить формулы преобразования плотности вероятности и на указанное преобразование. Пусть функция f\{x)-монотонно убывающая, а /2 () - монотонно возрастающая. Тогда (рис. 3.4)

Р {О < т] < у} = Р g < + а (у)] {X) dx + P {х, I < х(%

где Чу) и xUjj) - функции, обратные f\{x) и /2(), а и{у) -

Ох 0x0 у

Рис. 3.3. Квадратичное преобразование гауссовской случайной величины

функция единичного скачка [см. (2.7)]. Плотность вероятности случайной величины ri = /(g)

+ б(у) j wi{x)dx+wi[x){y)]

, y>o.

(3.13)

Для линейных функций fi{x) =xi-x, f2{x) =x-X2 формула (3.13) преобразуется к виду

Wr,iy)wtixi-y) + wi{,x + y) + 8iy){wiix)dx, y>0. (3.13a)

Рассмотри y = f{x) =

Рассмотрим также преобразование следующего вида:

(х-ХоУ; xXq, v>0, О, х<Хо.

Для определения плотности вероятности случайной величины r\ = f{l) следует воспользоваться формулой (3.13) при /i(x)=0. Так как х^Хо

W{y)-&{y) wi{x)dx + - y---wi{x, + у'% у>0.(3.136)

В частном случае линейно-ломаного преобразования (v=I) центрированной гауссовской случайной величины

, у>0,(ЗЛЗв)

где f (л:) -функция Лапласа [см. (2.68)].

3.1.7. Среднее значение функции случайной величины. Пусть известна плотность распределения w [х) случайной величины и требуется найти среднее значение = [(5). Конечно, для решения такой задачи можно по формуле (3.9) предварительно найти плотность вероятности W{y), а затем определить mi{r]}. Но среднее значение mi{r]} можно определить, минуя промежуточ-

Xj О Х2

- Рис. ЗА. Специальный случай преоб- (У^ разования случайной величины

ный этап вычисления (у), используя только исходные данные: плотность wi(x) и закон преобразования y = f(x).

Разобьем область возможных значений случайной величины Г] на непересекающиеся интервалы Ауг. =1, 2, ... и запишем искомое среднее как предел интегральной суммы

ЩЫ= ]yWr{y)dy= lim 2У|Р{г1еАуа.

Событие г]еАуг эквивалентно объединению несовместимых событий lAXiky k=\y 2, число которых равно количеству ветвей обратной функции х-Ц){у). Тогда, используя правило сложения, из эквивалентности событий получаем

Р.{леА^/} = Е Р {А Xtn) = \wi {X) dXy

где область интегрирования gi представляет сумму малых интервалов, содержащих все значения обратной функции ф(Уг)- Так как lgj, то fix) =yi и УiP{ц^\yг} j f{x)wi{x)dx.

После суммирования по i я перехода к пределу получим тгЫ}= = (3.14)

при условии, что интеграл (3.14) сходится (абсолютно). При f{x)==x\

mi{*}= ]xwi(x)dx = m{l}, (3.14a)

- oo

T. e. fe-й момент распределения можно трактовать как среднее значение случайной величины fe-й степени. Аналогично

{I) = тп {1-т,} = mi {(1-т,) Ц. (3.146)

Обобщая формулу (3.14), запишем для среднего значения функции векторной случайной величины

тЛ!{1}= i/(x)t£;g(x)dx. (3.15)

п

Если f(x)= П и g представляет совокупность независимых случайных величин, то из (3.15) следует

= 1[ ]ч Uft) dx = П (g,). (3.15а)

Среднее значение произведения независимых случайных величин равно произведению средних значений сомножителей.

3.1.8. Среднее значение линейной комбинации случайных величин. Рассмотрим линейное преобразование совокупности слу-

п /г=1

чайных величин 1= (i, n) с известной я-мерной плотностью вероятности

л= i:cftift=ci, (3.16)

где с'=(с1, Сп) - вектор-строка произвольных констант. Согласно общей формуле (3.15)

mi {ri} = mi {с' = \ cxw (х) dx = с' а| = 2 Ч^, (3.17)

Из (3.17) следует, что среднее значение линейной комбинации произвольно зависимых случайных величин равно линейной комбинации средних значений этих случайных величин. В векторной терминологии это свойство среднего при линейном преобразовании (3.16) можно сформулировать так: при усреднении скалярного произведения постоянного и случайного векторов постоянный вектор можно выносить за знак среднего. В частности, скалярный множитель можно выносить за знак среднего mi{cg} = = cmi{}. Далее, при c;t==hl из (3.17) следует, что среднее от алгебраической суммы случайных величин равно алгебраической сумме средних от слагаемых.

3.1.9. Линейное преобразование совокупности случайных величин. Рассмотрим линейное преобразование случайных величин

=1, п (3.18)

ИЛИ

т1 = С(-а), (3.18а)

где Т1=(П1, Tin) , a=(ai, ... an), aj = mi{gj}n С = (cj) - симметричная квадратная матрица произвольных констант. Из (3.18) с учетом (3.17) следует, что mi{ni}=0, i=l, п. Ковариационная матрица случайных величин х\и Kti= (ij), где

= Щ Ы ЛЛ = 1 f 2 i ii ib - ai) - a)

Вынося, в соответствии с (3.17), знаки суммирования и константы за знак среднего, получаем

Кл = СКС', (3.19)

где С^ - транспонированная матрица, которая совпадает с С, поскольку матрица С симметричная.

3.1.10. Декорреляция совокупности случайных величин. Как известно из теории матриц [3], для любой симметричной положительно определенной матрицы К i всегда можно найти такую ортогональную матрицу С, что произведение СК С^ - диагональ-

ная матрица. Вектор-строками такой ортогональной матрицы являются ортонормированные собственные векторы фг, г=1, п матрицы К| , а элементами диагональной матрицы - обратные ве-личины 1Дг положительных собственных значений Я.г, =1, матрицы К| . Собственные векторы и собственные значения матрицы К| удовлетворяют уравнению

ЯКбФ = ф. (3.20)

Линейное преобразование (3.18а), где С - ортогональная матрица, называется ортогональным. Таким образом, ортогональным преобразованием из произвольной совокупности коррелированных случайных величин получаем совокупность х\ центрированных некоррелированных случайных величин, причем Кл - диагональная ковариационная матрица. Обратное преобразование = а+С~1т] представляет ортогональное разложение элементов совокупности коррелированных случайных величин на некоррелированные составляющие.

Если I - совокупность зависимых гауссовских случайных величин, то ортогональным преобразованием получаем совокупность т] независимых гауссовских случайных величин, а обратное преобразование дает разложение гауссовских случайных величин на независимые составляющие.

3.1.11. Дисперсия линейной комбинации случайных величин. Из (3.18), опуская индекс f, получаем

[Х2{Л} = 1{Л'} = 1

л 1

(3.21)

где аи= (\12{Ъ)У'- Так как Rii =1, то (3.21) можно переписать в виде

= Е с| (Хг Ы + 2 2 с, о, (3.21а)

П

fe=l k>l

Если fe и lb кфи некоррелированы, то

= StX2{.

(3.22)

В частности, скалярный множитель можно выносить за знак дисперсии, если его возвести в квадрат; pi2{fe} =pi2{ft}. Далее при Ch±\ из (3.22) следует, что дисперсия алгебраической суммы попарно некоррелированных случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых.

3.1.12. Преобразование многомерной плотности вероятности при функциональных преобразованиях произвольной совокупности случайных величин. Вернемся теперь к общей постановке задачи, указанной в п. 3.1.1. Задана многомерная плотность (xi) совокупности случайных величин i, In и необходимо определить многомерную плотность W т (yi) случайных ве-

личин г]1, Цт- Как отмечалось, решение этой задачи получается из предварительного решения при т=п.

Рассмотрим общий случай, когда преобразование, обратное преобразованию

yn = h{xn,), k = UT, (3.23)

неоднозначное. Обозначим i-ю ветвь обратного преобразования г = Ф^г(у^1), k=ly п, f=l, 2, ... Следуя использованному в п.3.1.4 геометрическому подходу, введем событие 5, состоящее в том, что точка в п-мерпом эвклидовом пространстве принадлежит некоторой области Sy , и событие Аи состоящее в том, что точка §eSx. , /=1, 2, ... (рис. 3.5). Так как B = \]Ai и Aif]Aj = 0, 1ф}

и при достаточно малых объемах областей Sx., Sy

(3.24a)

(3.246)

Как известно, предел отношения 5х. и 5у при переходе от координат хг=(л:1г, Xni) к координатам y=(f/i, ...,f/n), когда Sxj-5-О, 5у~>0, равен якобиану преобразования

д{У1>.. Уп)

Ji= lim

5х.-0 5у

i=l, 2,...

(3.25)

Тогда из (3.24а), (3.246) и (3.25) с учетом свойства неотрицательности плoTocти вероятности получим

,п(У?)=Ейу[Ф.(У?)11.1. (3.26)

где ф,г(У 1) = [ф1г(У 1), .... фпг(У 1)].

Если преобразование взаимно однозначное, то сумма в (3.26) содержит только один член.

Область S и ее объем S обозначим одним и тем же символом.

Рис. 3.5. Преобразование многомерной плотности распределения

3.1.13. Плотность вероятности скалярной функции векторной случайной величины. Рассмотрим частный случай общего преобразования (3.1), когда т. е.

yifixu Хп). (3.27)

В соответствии с общим методом определения одномерной плотности вероятности r]i = f(i, In) по заданной многомерной плотности W (xi) необходимо сначала найти многомерную плотность совокупности случайных величин

rii = f(i, In), щ = Ьу k = 2, п. (3.28)

Если функция, обратная /, однозначна, то

1 = ф(/ь Уп)у Хк = Уку й = 2, п. (3.28а)

Как нетрудно убедиться, якобиан преобразования (3.28а) [см. (3.25)]

И из (3.26) находим

а ф f у?)

\ (у?) = [Ф (У?).. -. Уп]

Интегрируя по переменным у2, ,(/п, получаем искомую одномерную плотность скалярной функции векторной случайной величины

(3.286)

(3.29)

WrAУl)= 1 [ф(у?), f/2 -. Уп]

аф(у )

дУг

(3.30>

3.1.14. Плотность вероятности линейной комбинации случайных величин. Рассмотрим линейное преобразование совокупности случайных величин =(i, In) с известной я-мерной плотностью wi (х). В этом случае закон преобразования (3.28) записывается в виде

t/i= 2CjXjy /=1

(3.31)

5а