В радиотехнической системе наряду с полезными сигналами имеют место шумы и помехи, вызывающие искажения параметров полезного сигнала.

При достаточно высоком энергетическом потенциале канала, когда при требуемой точности воспроизведения сигнала можно не считаться с его искажениями шумами и помехами, проектирование и расчет характеристик канала могут производиться исходя лишь из условия согласования их с характеристиками полезного сигнала. Такой детерминистический подход многие годы господствовал в практике проектирования радиотехнических систем.

В настоящее время задачи, решаемые радиотехническими системами, значительно усложнились. Резко увеличилась дальность действия радиолиний, характеризуемая в ряде случаев не только земными, но и космическими расстояниями, повысились требования к точности и достоверности работы радиотехнических систем. При этом уже нельзя не считаться с искажениями сигнала, обусловленными действием шумов и помех. Возникает задача оптимизации систем для сведения к минимуму влияния помех на качество работы. Эта задача может решаться только в статистической постановке, что определяется следующими обстоятельствами.

1. Шумы и другие помехи, имеющие место при работе радиотехнических систем, носят непредсказуемый характер и могут быть заданы только статистически.

2. Полезный сигнал также может быть описан лишь статистически. В радиосвязи и телеметрии это вытекает из непредсказуемости передаваемой информации, определяющей форму сигнала. При радиоизмерениях сигнал также носит случайный характер либо по своей природе (радиоастрономические измерения, пассивная радиолокация), либо в силу случайных искажений его при распространении (многолучевость и т.п.). И даже в том случае, когда для измерений используется сигнал известной формы, случайными являются значения отдельных его параметров (по крайней мере измеряемых).

3. Критерии оптимальности должны быть статистическими. Нельзя обеспечить лучший в том или ином смысле режим работы системы для каждой реализации случайного сигнала в силу ее непредсказуемости, можно лишь ставить задачу лучшего для всего множества реализаций, т.е.статистически лучшего режима работы системы.

Анализ прохождения в радиотехнических системах сигналов в комбинации с помехами и синтез статистически оптимальных систем составляет предмет статистической радиотехники. Первая ее часть (анализ) использует математический аппарат теории вероятностей и теории случайных процессов, вторая (синтез систем) - математическую статистику.

К характерным задачам статистической радиотехники можно отнести: анализ прохождения случайного сигнала по каналу с заданными характеристиками; обнаружение сигналов; оценку параметров сигналов; фильтрацию сигналов. В качестве разновидности задач обнаружения сигналов и оценки их параметров можно выделить селекцию сигналов. Для решения этих задач должны быть заданы статистические (вероятностные) модели помехи и сигнала и статистический критерий оптимальности решения.

В задаче обнаружения требуется установить факт наличия сигнала, а критерий оптимальности характеризует достоверность определения этого случайного события.

В задаче оценки параметров требуется определить значения случайных параметров в данной реализации полезного сигнала, а критерий оптимальности в той или иной форме характеризует среднюю точность этой оценки.

Задача селекции сигналов заключается либо в обнаружении, либо в оценке параметров данного сигнала на фоне других сигналов и помех. Она характеризуется тем, что в качестве дополнительных случайных помех выступают другие сигналы, форма которых может быть известна, но факт их наличия и некоторые параметры (временная задержка и др.) заранее непредсказуемы. Критерии оптимальности остаются теми же, что и в задачах обнаружения и оценки параметров сигнала на фоне помех.

В задаче фильтрации требуется осуществить такое преобразование сигнала, которое позволяет получить оптимальную оценку реализации случайного сигнала или его параметра, изменяющегося по случайному закону. Критерием оптимальности служит близость полученной оценки к действительному закону изменения реализации случайного сигнала или его параметра.

В перечисленных задачах статистической радиотехники объектом рассмотрения являются радиосигналы. Однако во многих случаях, например в связи и телеметрии, исходным является не сигнал, а сообщение, т.е. некоторая последовательность символов, несущих подлежащую передаче информацию. Для передачи по радиоканалу сообщение должно быть преобразовано в сигнал - электромагнитное колебание, параметры которого изменяются по закону, отображающему сообщение.

Основным этапом этого преобразования является выбор системы символов, используемых в канале для передачи сообщения (алфавита канала), и закона отображения сообщения с помощью этих символов (спо-

соба кодирования сообщения). Важность операции кодирования можно проиллюстрировать следующим простым примером. Пусть по каналу связи передается сообщение в виде текста, а преобразование сообщения в сигнал осуществляется кодированием отдельных букв текста. Хорошо известно, что если даже при передаче имело место искажение небольшого числа букв, получатель, как правило, может восстановить текст. Это говорит об избыточности числа символов, используемых для передачи данного сообщения: содержащуюся в нем информацию можно было бы передать, используя меньшее число символов, но повышая скорость передачи информации. Например, можно было бы просто использовать сокращения отдельных слов, однако это снизило бы достоверность восстановления переданного текста при наличии искажений отдельных символов. Таким образом, при выборе способа кодирования имеется возможность размена скорости передачи информации на ее достоверность. Возникает задача выбора оптимального способа кодирования для обеспечения требуемого сочетания этих двух качеств. Для строгой постановки этой задачи необходимо прежде всего ввести количественную меру информации, содержащейся в сообщении, позволяющую объективно оценить тот минимум символов, который необходим для передачи этого сообщения без избыточности, и определить его избыточность. Такой аппарат дает теория информации.

Опираясь на аппарат теории информации, К. Шеннон показал [24], что каждый канал связи характеризуется предельным значением скорости достоверной передачи информации, которое не может быть превышено ни при каком способе кодирования, и что принципиально (без учета возможностей технической реализации) существует такой идеальный способ кодирования, который может обеспечить достоверную передачу информации со скоростью, сколь угодно близкой к этому предельному значению.

Полученные Шенноном результаты не могли найти непосредственного применения в практике связи в силу трудности технической реализации идеальных кодов Шеннона. И сам подход к задаче, использованный Шенноном при изучении возможностей идеальных кодов, не мог быть непосредственно распространен на технически реализуемые коды. Теория кодирования, основной задачей которой является поиск принципов построения эффективных технически реализуемых кодов, должна была строиться на иной основе, использовать иной аппарат. И тем не менее исследования Шеннона сыграли исключительно важную роль в развитии теории кодирования. Они определили ту идеальную меру, по отношению к которой можно оценивать совершенство существующих кодов и которая постоянно стимулирует поиски новых более совершенных способов кодирования. В настоящее время по статистической радиотехнике, теории информации и теории кодирования имеется весьма обширная литература, в том

числе и фундаментальные монографии по каждой из перечисленных областей [1-4, 8, 9, 11, 12, 17, 18, 21, 26, ЗЗи др.]. Однако эта литература, удовлетворяя специалистов с достаточно хорошей теоретической подготовкой, не может полностью обеспечить задачу переподготовки широкого круга радиоинженеров, проявляющих большой интерес к освоению этих разделов теории. Опыт преподавания инженерам-радистам на факультете повышения квалификации МИРЭА показал автору, что для этой цели необходима книга, дающая краткое, популярное по форме и вместе с тем достаточно строгое изложение с единых позиций вопросов статистической радиотехники, теории информации и кодирования. Именно эту цель преследовал автор при работе над данной книгой.

Книга охватывает широкий круг вопросов современной теории передачи и извлечения информации, изложенных в специализированных монографиях, посвященных отдельным аспектам этой теории. Автор уделяет значительное внимание физической трактовке как постановки задач, так и результатов решения. Достаточно большое внимание в книге уделяется рассмотрению технически реализуемых оптимальных сигналов (широкополосные сигналы, корректирующие коды, оптимальные статистические коды). Доступность книги для широкого круга читателей достигается в основном путем упрощения используемого математического аппарата при рассмотрении основных задач применительно к наиболее простым с математической точки зрения ситуациям (линейная обработка, нормальные процессы, помехи типа белого шума и т.п.). Математический аппарат, используемый в книге, не выходит за рамки программы технического вуза. Эти упрощения, естественно, далеко не всегда отражают реальные условия: не всегда достаточна линейная обработка и помехи далеко не исчерпываются аддитивным белым шумом. Поэтому данная книга может рассматриваться лишь как введение, как первая ступещ к изучению более фундаментальных трудов в области, непосредственно интересующей читателя. Она может быть использована в качестве учебного пособия для повышения квалификации инженеров-радистов как на соответствующих курсах и факультетах, так и в порядке самообразования. Она будет полезной и для студентов радиотехнических вузов, а в методическом отношении может представить интерес и для читателей, хорошо подготовленных в этой области.

Книга состоит из трех частей. В части I рассмотрены основные задачи статистической радиотехники: обнаружение и оценка параметров сигналов, линейная фильтрация, а также приведен необходимый для рассмотрения этих задач материал по теории сигналов, теории вероятностей и случайных процессов, теории линейных цепей.

В части II рассмотрены основы теории информации и теоремы идеального кодирования Шеннона для дискретных каналов связи без помех и с помехами и для непрерывных каналов связи.

В части III, посвященной теории кодирования, основное внимание уделено корректирующим кодам: рассмотрены общие свойства и некоторые классы блочных кодов, сверточные коды, кратко излагаются методы последовательного декодирования.

Автор считает своим приятным долгом выразить искреннюю благодарность рецензентам, профессорам В.И. Тихонову и A.M. Трахтману за обстоятельный разбор недостатков рукописи и рекомендации по ее доработке. Автор признателен проф. А.П. Мановцеву за большую помощь в работе над гл. 8 и 9 книги и профессорам А.С. Виницкому и А.А. Кошевому, высказавшим ряд ценных замечаний по рукописи книги.

Глава 1

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О СИГНАЛАХ

1.1. Основные определения. Классификация сигналов

Любая радиотехническая система имеет своей целью доставить информацию о каком-либо явлении, событии или состоянии некоторой материальной системы в условиях, когда источник информации удален от места ее приема. Это может быть текстовая информация (радиосвязь), информация о координатах или скорости движения удаленного объекта (радиолокация), изображение объекта (телевидение), информация о состоянии удаленной материальной системы (телеметрия), команды на изменение состояния объекта (командные радиолинии) и т.д.

Совокупность символов, несущих информацию о каком-либо событии или состоянии системы, называется сообщением. Сигналом называется физический носитель сообщения, в частности, радиосигналом называется электромагнитное колебание, параметры которого изменяются по закону, отображающему сообщение.

В любой реальной радиотехнической системе параметры электромагнитного колебания, являющегося переносчиком сообщения, подвержены действию случайных помех, под которыми понимаются все сторонние возмущения, приводящие к искажению сигнала. Источниками помех могут служить внешние шумы, шумы приемника, посторонние сигналы, поступающие на вход приемника, искажения сигнала при распространении его через среду и т.п. Источником случайной помехи может служить и сам передаваемый сигнал, поступивший на вход приемника не по основному направлению распространения, а в результате отражения от поверхности земли, ионосферы или каких-либо тел либо неоднородностей (многолуче-вость). Случайный характер помехи обусловлен в этом случае невозможностью строго учета условий распространения сигнала по побочным лучам.

По характеру действия помехи можно разделить на аддитивные и мультипликативные. Принимаемое колебание при действии аддитивной помехи п (t) можно представить в виде

Глава 1. Общие сведения о сигналах

где и if) - передаваемый сигнал. Аддитивную помеху, независимо от ее природы будем называть шумом.

При действии мультипликативной помехи v (г) принимаемое колебание можно представить в виде

§.(fl = v(0n(r)

где v (t) - случайная неотрицательная функция.

В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением случая аддитивной помехи. При этом будем полагать, что помехи могут быть приведены ко входу приемного устройства, и будем рассматривать входное колебание как смесь полезного сигнала и шума.

По степени полноты априорной информации о сигнале различают случайные, детерминированные и квазидетерминированные сигналы.

Случайные сигналы характеризуются тем, что их значения в любой момент времени заранее непредсказуемы с требуемой точностью. Случайный сигнал является частным случаем случайного процесса, представляющего изменение какой-либо физической величины по непредсказуемому закону. Вид функции х( (t), описывающей случайный сигнал (случайный процесс), становится известным только после его приема. Так, например, многократно включая генератор шума на некоторое фиксированное время,мы каждый раз будем получать различные по форме отрезки функции Xi (t). Конкретные сигналы х, (0, получаемые при каждом включении генератора шума, будем называть реализациями случайного сигнала £ (t). Случайные сигналы (процессы) будем обозначать буквами греческого алфавита, а их конкретные реализации - буквами латинского алфавита. Вид каждой реализации xi (t) заранее неизвестен. Однако совокупность всех полученных реализаций {х, (г)} принадлежащих единому источнику, обладающему некоторыми физическими свойствами, будет обладать определенными статистическими характеристиками, являющимися единственной формой задания случайного сигнала.

Сигналы, заранее известные для любого момента времени, описываемые заданной функцией времени и (f), называются детерминированными.

Разновидностью случайных сигналов являются квазидетерминированные сигналы, реализации которых описываются функциями заданного вида, но содержат один или несколько случайных параметров а, Р, ... не зависящих от времени. Реализации квазидетерминированного сигнала могут быть записаны в виде

и полностью определяются значениями случайных параметров а #, ... Квазидетерминированные сигналы называют также сигналами заданной формы со случайными значениями параметров.

ОСНОВЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ РАДИОТЕХНИКИ

Кроме того, следует выделить часто встречающуюся в статистической радиотехнике разновидность случайных сигналов - сигналы с медленно меняющимися случайными параметрами, реализации которых имеют вид

и,-(*) = и[*; a/(0,A(0..-L

В отличие от квазидетерминированных сигналов в этом случае параметры а\ (I), Р\ (?), ... являются не случайными величинами, а случайными функциями времени, изменяющимися, однако, гораздо медленнее, чем сам сигнал щ (/), при фиксированных значениях этих параметров. На коротких отрезках времени, пока можно не считаться с изменениями параметров, сигнал ведет себя как квазидетерминированный. Однако при более протяженных интервалах наблюдения его параметры должны уже рассматриваться как случайные функции времени.

В зависимости от задач, которые ставятся при обработке сигнала, сигнал или его параметры могут выступать:

а) как случайное событие, когда требуется оценить сам факт наличия или отсутствия какого-либо сигнала (задача обнаружения);

б) как случайная величина, когда требуется оценить значение случайного параметра квазидетерминированного сигнала (задача оценки параметров);

в) как случайная функция (случайный процесс) когда требуется оценить реализацию случайного сигнала щ (г) или случайно изменяющегося параметра сигнала a, (t) (задача фильтрации).

По форме представления зависимости сигнала от времени все сигналы можно подразделить на непрерывные, дискретные и цифровые.

Непрерывными называются сигналы, заданные во всех точках временной оси или некоторого ее отрезка. Их реализации щ (г), как правило, непрерывные функции времени (рис. 1.1).

Дискретными называются сиг-

i(0

Ршс 1.1

налы, заданные лишь на дискретном множестве {г,} точек временной оси (чаще всего в точках, следующих равномерно через фиксированный интервал АО- Реализации дискретного сигнала в точках определениях могут принимать любой значение в пределах области его изменения (рис. 1.2).

Цифровые сигналы представляют собой частный случай дискретных сигналов, когда реализации и/(ft) в точках определения

сигнала tk могут принимать одно из фиксированных дискретных значений, определяемых числами с ограниченным количеством разрядов (рис. 1.3).

uj£tk)

Ж

U

Рис. 1.2

Ряс IS

Следует отметить, что в радиотехнических системах мы имеем дело только со случайными и квазидетерминированными сигналами: передача по радиоканалу детерминированных сигналов, полностью известных в месте приема по априорной информации, очевидно, лишена смысла.

1.2. Формы представления сигналов

Наиболее естественной формой представления сигналов является задание закона изменения его во времени и (г). Однако эта форма представления сигналов не является единственной, а может рассматриваться как одна из разновидностей спектрального представления сигналов [6].

При спектральном представлении сигнал и (t) задается в виде линейной комбинации определенным образом выбранных сигналов известной формы (базисных функций), определенных на том же временном интервале, на котором определен и сигнал и (t) (например, на интервале [-272, Т/2]). Набор коэффициентов при базисных функциях, определяющий (при заданной системе базисных функций) сигнал и (г), называется его спектром.

Если сигнал и (г) может быть представлен в виде суммы спектральных составляющих, отвечающих счетному множеству базисных функций q>i(t):

и (0=1 0-1)

то спектр такого сигнала, представляемый набором коэффициентов а называется дискретным. В этом случае сигнал и (t) и базисные функции <pi(t)

имеют одинаковую размерность, а коэффициенты а, соответственно безразмерные. Если для представления сигнала и (t) недостаточно дискретного набора базисных функций <pi(t)9 а требуется несчетное множество базисных функций <р (oU) отличающихся значениями непрерывно изменяющегося параметра а, то сигнал представляется в виде интеграла:

и if) = J S(a) <p(a,t) da. (1.2)

Спектр такого сигнала характеризуется функцией S (а) непрерывной переменной а (непрерывный спектр).

В этом случае роль элементарного безразмерного коэффициента играет величина S (a) da> величина же S (а) представляет его плотность по параметру а и имеет размерность, обратную размерности а.

Рис 1.4

Рассмотрим наиболее распространенную форму спектрального представления сигналов, когда в качестве базисных функций используются гармонические сигналы. Рассмотрим действительный сигнал иТ (0, заданный на интервале [-772, Т/2]. Дополним сигнал ит (t) до периодического сигнала йт (i), повторяя функцию uT(t) с периодом Т вне интервала Т/2] (рис. 1.4). Разлагая периодическую функцию йт (г) в ряд Фурье [37], получим:

uT(t) = fif(f) =f +£(a*cos24/ir + 6tsin24U0f

-T/2*t*T/2 z *=1

(1.3)

где

2 7/2

2 Г

ak= J I и (г) cos 2nfkt dt\

Ьк= f $u(t)sin2nfktdr, fk=f. (1.4)

Используя подстановку

ак = скcos (pk\ bk = cksin<pk, (1.5)

разложение (1.3) можно представить в виде

иг(0=? + ±(сксо*(2ф-<рк1 IHT- (1-6)

где

ск = V а2* + fe2fc; = arctg (1.7)

При проведении математических операций над сигналами вместо тригонометрической формы представления сигналов (1.4), (1.6) удобно использовать представление в комплексной форме с применением экспоненциальных базисных функций еу2я/*.

Для этого вводится двусторонний комплексный спектр путем расщепления11 каждой спектральной сопоставляющей разложения (1.6) действительного сигнала и (г) на две комплексно-сопряженные компоненты для частотой -/*,равные соответственно

<№ = Ш\*** = 1 ckcc*9k-j±ck*in9k* f-j%\ (L8)

C(-fk) = \C(fk)\=f +/f , (1-9)

где точка сверху используется для обозначения комплексной функции (числа).

Разложение (1.6) в комплексной форме имеет вид

иг(0 = е** = Z е**7 . (1.10)

к = - к = -оо

где

772 772

<?<Й)в у /и (0 (сое ад-у sin ад) А = Jii(i)e-WA (1.Ц)

-ТО -772

Введя обозначение А/=-/= 1/Ги перейдя в (1.10) к пределу при Г-* , получим разложение в виде интеграла Фурье для сигнала и (г) неограниченной длительности

u(t) = limuT(t) = Yim £ £(/йеДГ =

ДГ->0

е**# (1.12)

где

Йй Та,

Af-+0 J -772

£(/) = lim T7- = lim - f u(t)e~j2*dt =

7 -772

= JM(r)e-y2dr. (1.13)

Величину $ (/), представляющую спектральную плотность комплексной амплитуды С (/), называют комплексным спектром. Сигнал и (t) и комплексный спектр *£ (j) связаны соотношениями (1.12) и (1.13), которые носят название преобразований Фурье. Более распространена запись преобразований Фурье с использованием в качестве аргумента круговой частоты со = Inf.

где & (<о) - спектральная плотность комплексной амплитуды на 1 Гц (а не на 1 рад/с). При такой записи появляется нарушающий симметрию формул коэффициент 1/2л, связанный с тем, что спектральная плотность на единицу круговой частоты (рад/с) равна $ (ш)/2я.

Заметим, что для действительного сигнала комплексной является лишь форма записи, Й самом деле, суммируя спектральные составляющие двустороннего комплексного спектра для симметричных частот /и -/и учитывая (1.8), (1Л>),получаем

£ if) е т + £ (/) tm = ]$ if) [е * - ff} + + <f**-V> ] = 2 \$ 0) cos (2nji - Р/).

т.е. двустороннему комплексному спектру $ (/) соответствует односторонний гармонический спектр со спектральной плотностью амплитуды 2\$(J)\ и фазой <pf.

Легко убедиться, что преобразования Фурье (1.12), (1.13) справедливы и для комплексной функции <o(t) = u (г) + jv (?) (примерами такой функции являются комплексный сигнал и комплексный спектр). Применяя преобразования Фурье к действительным функциям и (г) и v (г), получаем

и(0=J&<0e**4f. v(0= J &(/)ed/,

где

4 (0 = J (0 A; 4 W = Jv (f) €**A. Соответственно получаем

w(t) = u(t)+jv(t) = Jiiw+Awie

где

£(/) = &(/)+;&(/) = J[m(r)+>(0]eA=Jw(r)edr.

= \&(f)edf.

Полученные выражения по форме записи ничем не отличаются от преобразований Фурье для действительных функций (действительных сигналов). Однако для комплексных сигналов двусторонний спектр уже не будет комплексно-сопряженным и сведение его к одностороннему спектру становится вообще невозможным.

На комплексные сигналы распространяются также и формулы (1.10), (1.11) для представления сигналов ограниченной длительности в виде рядов Фурье.

Для сигнала uT(t) отличного от нуля в ограниченном интервале [-772, Г/2], формула (1.13) принимает вид

В этом случае для представления сигнала на интервале [-Г/2, Г/2] можно использовать как интеграл Фурье (1.12), так и ряд Фурье (1.10). Эти два представления отличаются лишь вне интервала [-Г/2, Г/2]: если интеграл Фурье правильно отображает сигнал ит (0 на всей временной оси (вне интервала [-Г/2, Г/2] в рассматриваемом случае он дает значения, равные нулю), то ряд Фурье вне интервала [-Г/2, Г/2] перестает соответствовать отображаемому сигналу и вместо нулевого значения дает периодическую функцию й (0 (рис. 1.4).

Определим энергию сигнала и (;) через его комплексный спектр & (/). Рассмотрим сначала действительный сигнал ит (t) ограниченной длительности. На интервале [-Т/2, Г/2] его можно представить в виде ряда (1.10) и получить следующее выражение для его энергии:

772 772 Г

\u\t)dt= j l?: C(fk)tj-\dt=

-ТП -772 С. J

-m\L-- J

= 1 Y.C(fk)Cm Udt. (1.14)

*------ -772

Определим значения интегралов, входящих в (1.14):

pdt= fees 2 (* + fr dt +

-Г/2 -772. *

, . г . 2тс (Jc ч* t)t i г sin n(k+ I)

0 приЛ + /*0 Г при k = - /

0.15)

Учитывая, что С (- ) = С* (/j) (звездочка - знак комплексного сопряженного числа), на основании (1.15) получаем:

Функции фк (0 и ф[ (г), удовлетворяющие условию

J Ф (*)<И;(0 = 0,

-772

называются ортогональными на интервале [-Г/2, Г/2]. Выражение (1.16) свидетельствует об ортогональности на интервале Г существования сигнала ит (0 всех его спектральных составляющих. Формула (1.14) с учетом (1.15) Принимает вид:

J u\(t) dt=±Td(ft) C*(fk) = tT\C(ft)P- (1-17)

Слагаемые T\C(fkf в (1.17) представляют энергию отдельных спектральных составляющих двустороннего комплексного спектра на интервале Г существования сигнала ит (0 величина \С (fk)\2 представляет среднюю мощность каждой из этих спектральных составляющих.

Формула (1.17), определяющая энергию сигнала uT(t) через энергии его спектральных составляющих, называется равенством Парсеваля.

Учитывая, что Г= 1/Д/и переходя в (1.17) к пределу, получаем равенство Парсеваля /для сигнала, определяемого на неограниченном интервале:

ju\(t)dt=\im ju2T(t)dt= limlJJA/= \]$(f)\2df (1.18)

- -Г/2 ДМ) ~ -

Из (1.18) следует, что величина (/)2 представляет спектральную плотность энергии сигнала (энергетический спектр).

Равенство Парсеваля характеризует тождественность выражений для энергии сигнала, соответствующих временному и частотному его представлениям. Обе эти формы представления сигнала совершенно равноправны. Временное представление - это разложение сигнала с использованием в качестве базисных функций бесконечно узких по оси времени импульсов (с бесконечно протяженным частотным спектром). Частотное представление - это разложение по гармоническим базисным сигналам, бесконечно узким по частотному спектру и бесконечно протяженным по времени. Равенство Парсеваля означает, что при обеих этих формах представления сигнала его полная энергия равна сумме энергий всех спектральных составляющих (сумме энергий бесконечно коротких импульсов при временном представлении и бесконечно узких участков частотного спектра при частотном представлении). Равенство Парсеваля является следствием ортогональности базисных функций на интервале существования сигнала. Ортогональность гармонических базисных функций на интервале (- >, < ) следует из (1.16), а ортогональность базисных функций в виде бесконечно узких, примыкающих друг к другу импульсов очевидна, так как они не перекрываются по времени.

Гармонический спектр долгое время был единственным применяющимся в радиотехнике. С развитием дискретной техники широкое распространение получили спектральные разложения по дискретным базисным функциям (функция Радемахера, Уолша и др.) [6]. Следует отметить, что и для аналоговых сигналов гармонический спектр является наиболее естественным лишь при рассмотрении систем с постоянными параметрами. Для систем с переменными параметрами более удобными оказываются другие базисные функции [6, 14]. В качестве базисных функций для разложения сигналов могут также использоваться системы ортогональных полиномов (полиномы Лежандра и др.) [6].

В некоторых случаях удобно использовать геометрическую форму представления сигнала, когда базисным функциям ставятся в соответствие оси ортогональной системы координат в многомерном пространстве сигнала, а составляющие спектра представляют собой значения этих координат, задающие сигнал и (/). При этом дискретному спектру ставится в соответствие евклидово пространство с числом измерений, равным числу составляющих спектра а,- [базисных функций ф/ (г)]. Сигнал в этом пространстве может задаваться в векторной форме, при этом составляющие спектра определяют компоненты вектора, отображающего сигнал.

Если базисные функции нормированы, т.е.

то квадрат модуля вектора, равный в соответствии с метрикой N-мерного евклидова пространства

представляет собой энергию сигнала, а квадрат расстояния между двумя сигналами в евклидовом пространстве равен:

и\, а = X (ay - a\i)2. = i

Для неограниченного дискретного спектра пространство сигнала - счетное бесконечномерное, и суммы, представляющие квадрат модуля вектора, отображающего сигнал ( модуля сигнала ) и квадрат расстояния между сигналами, содержат бесконечное число членов.

Непрерывному спектру, имеющему спектральную плотность S (о), соответствует бесконечномерное пространство сигнала с несчетным множеством измерений. Квадрат модуля сигнала и квадрат расстояния между сигналами в этом пространстве выражается не через суммы, а через интегралы:

Я2 = ]s2(a)da; #а1щЛ± J[S, (а)-52(а)]2da. о о

В частности, при временном представлении дискретных сигналов (дискретный временной спектр ) эти выражения принимают вид

Я2И = 1/ to), Я2*, иг = £>2 fe> - Щ (Г,)]2. (1.19)

При временном представлении непрерывных сигналов (сплошной временной спектр )

Л2. = J и2 (f) dt\ E?uUu2 = J [иг (/)-щ (t)]2 dt. (1.20)

1.3. Дискретизация непрерывных сигналов. Теорема Котельникова

В настоящее время широкое распространение получили дискретные радиоканалы, т.е. каналы, по которым передаются цифровые сигналы. Они широко используются и для передачи непрерывных сообщений. Это объясняется следующими обстоятельствами: 1) большей устойчивостью цифровых сигналов к возможным искажениям в канале; 2) возможностью непосредственного вцода информации для последующей обработки в цифровых ЭВМ; 3) возможностью преобразований непрерывного сигнала в цифровой и обратно практически с любой заданной точностью.

Рассмотрим сначала возможность дискретизации непрерывного сигнала. В.А. Котельниковым было доказано [7], что дискретизация непрерывного сигнала в случае, когда ширина его частотного спектра ограничена, при соответствующем выборе шага квантования по времени теоретически обеспечивает возможность абсолютно точного восстановления непрерывного сигнала. Теорему Котельникова можно сформулировать следующим образом: непрерывный сигнал и (t), спектр которого ограничен сверху частотой SFB> полностью определяется своими значениями,

Сравнивая (1.25) с (1.22), видим, что коэффициенты Dk представляют произведение интервала At на значения сигнала и (г) в точках - Ш:

£>* = Д/и(-Ш). (1.26)

Подставляя (1.26) в (1.23), получаем

£(Я = Д/1>(-Ш)е' = Дг £ uikAt)*-*2***. (1.27) Подставляя теперь (1.27) в (1.22) и учитывая, что At = l/2Fo, имеем и ) = Ь±и(Ш) h-df= 1 и(Ш) 81°У°<-*У.(1.28)

, Строго говоря, условия теоремы Котельникова для реальных сигналов не удовлетворяются, поскольку они представляют процессы, ограниченные во времени, и поэтому их спектр не ограничен. Однако практически всегда можно ограничить сверху спектр реального сигнала достаточно большой частотой так, чтобы составляющие спектра за ее пределами были незначительными. Оценим допускаемую при этом погрешность, полагая, что усечение спектра осуществляется идеально, без искажений для частот/@в. Искажение сигнала и (t) при таком усечении его спектра будем характеризовать среднеквадратическим отклонением усеченного сигнала от истинного на интервале существования последнего:

ос = Л^у|Ди2()Л, (1.29)

где Аи (0 - отклонение сигнала с усеченным спектром от реального; Т - длительность сигнала.

Поскольку реальный и усеченный сигналы имеют одинаковый спектр в интервале частот [- 9, 5И, спектр разностного сигнала Аи (t) определяется отброшенной частью спектра сигнала и (t) для / > Поэтому, используя равенство Парсеваля (1.18), получаем

т ~ ~

J Аи2 (г) Л < J Аи2 (г) Л = J 215 (jf)\2 df= АЕ, (1.30)

0 - 4*

где А£ - энергия, приходящаяся на неучитываемую часть спектра реального сигнала, лежащую выше частоты 9ъ* Из (1.29) и (1.30) следует, что

ос < л/Д£УГ.

(1.31)

отсчитываемыми в дискретных точках через интервалы At = 1/2F0, где F0 &Bj при этом значение сигнала в произвольный момент времени t равно

. -.£. (но (Ь21)

Будем считать, что сигнал и (t) может быть представлен интегралом Фурье через комплексный спектр $ (/):

u(t)=]$(f)e df= ]$<f)ejl*df, (1.22)

- -Fo

так как по условию теоремы Котельникова £(/) = 0 при />F0.

Комплексный спектр £ if) в области существования [- F0, F0]9 может быть отображен рядом Фурье вида (1.10), применимым и для отображения комплексных функций:

£(/) = ! Ае, -F0</<F0, (1.23)

где коэффициенты разложения D* согласно (1.11) равны

Дк= -r J 0)е- 4Г. (1-24)

При этом следует помнить, что ряд (1.23) правильно отображает функцию 8(J) только в пределах области [- F0, F0]. Учитывая, что 1/2F0 = At, записываем (1.24) в виде

th= Atj0.25)